即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c.李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：
①卫星向径的最小值为a?c，最大值为a?c；
②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁； ③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 其中正确结论的个数是 A. 0 【答案】C 【解析】 【分析】
根据椭圆的焦半径的最值来判断命题①，根据椭圆的离心率大小与椭圆的扁平程度来判断命题②，根据题中“速度的变化服从面积守恒规律”来判断命题③。 【详解】对于命题①，由椭圆的几何性质得知，椭圆上一点到焦点距离的最小值为a?c，最大值为a?c，所以，卫星向径的最小值为a?c，最大值为a?c，结论①正确；
对于命题②，由椭圆的几何性质知，当椭圆的离心率e?c越大，椭圆越扁，卫星aB. 1 C. 2 D. 3
ac?a?caa1?e2????1，当这个比值越小，则向径的最小值与最大值的比值
a?ca?c1?e1?eaae越大，此时，椭圆轨道越扁，结论②正确；
对于命题③，由于速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星越靠近远地点时，向径越大，当卫星越靠近近地点时，向径越小，由于在相同时间扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，结论③错误。故选：C。 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆几何量对椭圆形状的影响，在判断
时要充分理解这些几何量对椭圆形状之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题。
x2y210.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2作C的渐
ab近线的垂线，垂足为点P,PF1?5a，则C的离心率为 A. 5 【答案】D 【解析】 【分析】
利用点到直线的距离公式求出PF2，利用勾股定理求出OP，由锐角三角函数得出
cos?POF2?aa，由诱导公式得出cos?POF1??，在?POF1利用余弦定理可得出ccB. 2 C. 3 D. 2
a、b、c的齐次方程，可解出双曲线C离心率e的值。
【详解】如下图所示，双曲线C的右焦点F2?c,0?，渐近线l1的方程为bx?ay?0，
由点到直线的距离公式可得PF2?由勾股定理得OP?bcb2???a?2?bc?b， cOF2?PF222?c2?b2?a，
在Rt?POF2中，?OPF2??2，?cos?POF2?OPOF2?a， c在?POF2中，OP?a，PF1?5a，OF1?c，
acos?POF1?cos????POF2???cos?POF2??，
c由余弦定理得cos?POF1?OP?OF1?PF12OP?OF1222c2?4a2a???，化简得，c2?2a2，
2acc即c?2a，因此，双曲线C的离心率为e?c?2，故选：D。 a【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属于中等题。求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出a、c，可计算出离心率； ②构造a、c的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解。
11.已知不等式x?b?alnx(a?0)对任意x?(0,??)恒成立，则A. 1?ln2 【答案】C 【解析】 【分析】
构造函数g?x??x?alnx?b，利用导数求出函数y?g?x?的最小值，由g?x?min?0得出b?a?alna，得出
b?2a?alna?222??1?lna?，并构造h?a??1?lna?，aaaab?2的最大值为 aB. 1?ln3 C. ?ln2 D. ?ln3
利用导数求出h?a?的最大值，即可得出答案。
【详解】构造函数g?x??x?alnx?b，由题意知g?x?min?0，g??x??1?ax?a?。 xx①当a?0时，?x?0，g??x??0，此时，函数y?g?x?在?0,???上单调递增， 当x?0时，g?x????，此时，g?x??x?alnx?b?0不恒成立；
②当a?0时，令g??x??x?a?0，得x?a。 x当0?x?a时，g??x??0；当x?a时，g??x??0。
所以，函数y?g?x?在x?a处取得极小值，亦即最小值，即
g?x?min?a?alna?b?0，
b?2a?alna?22??1?lna?， aaa2212?a构造函数h?a??1?lna?，其中a?0，则g??a??2??2。
aaaa?b?a?alna，?令h??a??0，得a?2。当0?a?2时，h??a??0；当a?2时，h??a??0。 此时，函数y?h?a?在a?2处取得极大值，亦即最大值，即h?a?max?h?2???ln2。
b?2因此，的最大值为?ln2，故选：C。
a【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论的思想，构造函数利用导数研究函数的最值是解决函数不等式恒成立的常用方法，考查分析问题的能力，属于难题。
12.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中， AB?3,AA1?4,P是侧面BCC1B1内的动点，且AP?BD1,记AP与平面BCC1B所成的角为?，则tan?的最大值为
4A.
35B.
3C. 2
25D.
9【答案】B 【解析】 【分析】
建立以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间
直角坐标系，设点P?m,3,n?，利用AP?BD1，转化为AP?BD1利用空间向量法求出sin?的表达式，并将n?uuuvuuuuv3?0，得出n?m，
43m代入sin?的表达式，利用二次函4数的性质求出sin?的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出tan?的最大值。 【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系D?xyz，则A?3,0,0?、B?3,3,0?、D1?0,0,4?， uuuvuuuuv设点P?m,3,n?，则0?m?3，0?n?4，AP??m?3,3,n?，BD1???3,?3,4?， uuuvuuuuv3QAP?BD1，则AP?BD1??3?m?3??3???3??4n??3m?4n?0，得n?m，
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v平面BCC1B1的一个法向量为a??0,1,0?，
uuuvvAP?a3sin??uuu?vv?22AP?a所以，?m?3??9?n3252，
m?6m?1816m??32?3? ?m?3??9??m??4?2=当
?648???0,3?2525时，sin?取最大值，此时，tan?也取最大值， 2?16325?48?48????6??1816?25?252且
?sin??max??5334，此时，cos??1?sin2??，
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福建省厦门市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
