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25．（12分）（2012?北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．
考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 压轴题． 分析： 圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，
b），圆P截X轴所得的弦长为，
截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．
解答： 解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，'.
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2=a2+1．
从而得2b2﹣a2=1．
又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为
，
所以5d2=|a﹣2b|2 =a2+4b2﹣4ab
≥a2+4b2﹣2（a2+b2） =2b2﹣a2=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值． 由此有
解此方程组得或
由于r2=2b2知． 于是，所求圆的方程是
（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2． 解法二：同解法一，得
∴
得
①
将a2=2b2﹣1代入①式，整理得
②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即 △=8（5d2﹣1）≥0， 得5d2≥1．
∴5d2有最小值1，从而d有最小值
．
将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1． 将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1． 综上a=±1，b=±1，r2=2． 由|a﹣2b|=1知a，b同号． 于是，所求圆的方程是
（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．
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点评：
本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，
P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．
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1997年全国统一高考数学试卷(理科)
