1997年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（ ） A ．{x|0≤x＜1} B． { x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D． { x|0≤x≤2} 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（ ） A ．﹣6 B．﹣ 3 C． D．
3．（4分）函数y=tan（ A ．
B．
）在一个周期内的图象是（ ） C．
D．
，BC=2．则二面角P﹣BC﹣
4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=A的大小为（ ） A ． B． C． D．
5．（4分）函数y=sin（ A ．
B．π
）+cos2x的最小正周期是（ ）
C．2π
D．4 π
6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（ ） A ． ﹣，0] C． D． ，1] [﹣1，﹣] B．[[0，] [
7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（ ） A ．先向左平行移B． 先 向右平行移
动1个单位 动1个单位 C ．先向上平行移D． 先 向下平行移
动1个单位 动1个单位 8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ．20π B．2 5π C．50π D．2 00π
9．（4分）曲线的参数方程是
（t是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）
.
A ．（x﹣1）2（yB．
y=﹣1）=1
C． D．
10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（ ） A ．2 B．0 C． D．6
11．（5分）椭圆C与椭圆 A ．
B．
C．
关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ） D．
12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ） A ． B．2 π C． D．
π π π
13．（5分）（2014?碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式： ①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）； ②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）； ③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）； ④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a）， 其中成立的是（ ） A ．①与④ B．② 与③ C．①与③ D．② 与④
14．（5分）不等式组
的解集是（ ）
A ．{x|0＜x＜2} B． { x|0＜x＜2.5} C． D{ x|0＜x＜3} ． 15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ） A ．150种 B．1 47种 C．144种 D．1 41种
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知
17．（4分）（2014?陕西模拟）已知直线的极坐标方程为离是
_________ ．
18．（4分）
的值为 _________ ．
，则极点到该直线的距
的展开式中x3的系数为，常数a的值为 _________ ．
'.
.
19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m?α，l?β且l⊥m，则α⊥β；④若l?β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m?α，l?β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是 _________ ．
三、解答题（共6小题，满分69分） 20．（10分）已知复数
，
．复数
，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，
Q．
证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）． 21．（11分）已知数列{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设cn=an+bn，Sn为数列{cn}的前n项和．求
．
22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点． （1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角．
24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．
（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1； （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜
．
25．（12分）（2012?北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．
'.
.
1997年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（ ） A ．{x|0≤x＜1} B． { x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D． { x|0≤x≤2}
考点： 交集及其运算． 分析： 解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答： 解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，
故选B
点评： 本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单． 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（ ） A ．﹣6 B．﹣ 3 C． D．
考点： 专题： 分析： 解答：
直线的一般式方程与直线的平行关系． 计算题．
根据它们的斜率相等，可得
=3，解方程求a的值．
解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴
=3，∴a=﹣6．
点评：
故选A．
本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．
）在一个周期内的图象是（ ） C．
D．
3．（4分）函数y=tan（ A ．
B．
考点： 专题： 分析：
正切函数的图象． 综合题． 先令tan（
）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）
的最小正周期为2π，排除B．
解答：
解：令tan（不是
，排除C，D
）的周期T=
=2π，故排除B
）=0，解得x=kπ+
，可知函数y=tan（
）与x轴的一个交点
∵y=tan（
'.
.
点评： 4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=A的大小为（ ） A ． B． C． D．
考点： 专题： 分析：
故选A
本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．
，BC=2．则二面角P﹣BC﹣
解答：
平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 计算题．
要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．
解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=，
得PB=PC=，PA=BC=2，
取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=故选C．
，
点评：
求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．
）+cos2x的最小正周期是（ ）
C．2π
D．4 π
5．（4分）函数y=sin（ A ．
考点： 分析： 解答：
B．π
三角函数的周期性及其求法． 先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解：∵f（x）=sin（=∴T=
sin（2x+θ） =π
）+cos2x=
cos2x﹣sin2x+cos2x=（
+1）cos2x﹣sin2x
点评：
'.
故选B．
本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．
1997年全国统一高考数学试卷(理科)
