【详解】
方程等价于即画图由图可知，设因为
， ，
有且仅有两个不同的实数解，
有且仅有两个不同的实数解，
，有且仅有两个不同的交点（原点除外）. 的图象. 与
与
，
的交点横坐标，
相切时符合题意，
，所以为切点横坐标，且是直线
因为切线过原点，所以切线斜率 所以
，故选A.
【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线斜率以及直线的斜率公式的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 10.如图，将边长为2的正方形
中，点在平面
沿
、
翻折至、两点重合，其中是与棱
所成角为
中点，在折成的三棱锥
内运动，且直线，则点运动的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D
【解析】 【分析】
建立空间坐标系，设式列方程，得到关于
,求出点
的坐标，由直线
与棱
所成角为
，利用空间向量夹角余弦公
的方程，从方程的形式可判断点的轨迹.
【详解】
如图，过点引平面的垂线,垂足为,
以为坐标原点建立空间直角坐标系, 其中轴与直线 由题可知设点到平面所以
,
设又直线整理得
，与棱
所成角为
,
，
，
平行,点在轴的负半轴上. 平面
,
,
，可得
，
的距离为，因为
点的轨迹为抛物线,故选D.
【点睛】本题主要考查利用“等积变换”求点到平面的距离、利用空间向量表示其夹角的余弦值及求轨迹方程，通过轨迹的方程来判断轨迹，还考查了转化思想以及空间想象能力，属于难题.
二、填空题（多空题每空3分，单空题每空4分，共计36分）
11.已知随机变量的分布列为：
-1 0 2 若，则__________；
___________.
【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】
由分布列的性质以及期望公式可得，解得，再利用方差计算公式即可得结果.
【详解】由分布列的性质以及期望公式可得，，
解得，，
，
故答案为.
【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望以及随机变量的方差公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 12.若
＝6，则
＝___； (2).
＝___
【答案】 (1). 【解析】 【分析】 利用对数知识将
表示出来，再利用对数运算求解。
，
，所以
=
，
【详解】由题可得：
=。
【点睛】本题主要考查了对数的定义及对数运算公式，计算一般，属于基础题。
13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________；表面积是____________.
【答案】 (1). 【解析】 【分析】
(2).
由三视图可得该几何体是四棱锥，根据三视图中数据，求出底面积与高可得棱锥的体积，再求出四个侧面的面积，与底面积求和可得四棱锥的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥三角形，棱柱的高为4，四棱锥形面积分别为面积为
，图中直三棱柱的底面是直角边长为2 的等腰直角
，四个侧面中，三个直角三角
，表
的底面是矩形，面积为
一个等腰三角形，面积为
，故答案为 ，
，所以该四棱锥的体积为.
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查体积、表面积以及空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 14.已知直线
．若直线与直线
平行，则的值为____；动直线被圆
截
得弦长的最小值为______． 【答案】 (1). -1. (2).
.
【解析】
分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.
详解：由题得
当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1. 因为圆的方程为所以
，
，
所以它表示圆心为C（-1,0）半径为5的圆. 由于直线l：mx+y-1=0过定点P(0，-1), 所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短. 且最短弦长为故答案为：-1，
.
实际上是错误的.因为
是两直线
点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到平行的非充分非必要条件，所以根据重合了，所以要舍去m=1.
15.向量，满足：｜｜＝2，｜+｜＝1，则 的最大值为__ 【答案】【解析】 【分析】 设出
的坐标，从而表示出的坐标，然后将
，
当
时，等号成立。所以 的最大值为.
求出m的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线
表示成函数关系，把问题转化成函数的最大值问题解决。
，则
，所以
【详解】由题可设
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及数量积的坐标表示，还考查了同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，考查了转化思想。
16.如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有__种。
浙江省2018年12月重点中学高三期末热身联考数学试题(解析版)
