实用文档之\求函数值域的十种方法\一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可
通过观察得到。
例1．求函数y?x?1的值域。
x?1的值域为[1,??)。
【解析】∵x?0，∴x?1?1，∴函数y?【练习】
1．求下列函数的值域：
①y?3x?2(?1?x?1)； ③y?
②f(x)?2?4?x；
24y??x?1??1，x???1,0,1,2?。 ○
x； x?1
【参考答案】①[?1,5]；②[2,??)；③(??,1)(1,??)；○4{?1,0,3}。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题
2型。形如F(x)?af(x)?bf(x)?c的函数的值域问题，均可使用配方法。
2例2．求函数y??x?4x?2（x?[?1,1]）的值域。
22【解析】y??x?4x?2??(x?2)?6。
∵?1?x?1，∴?3?x?2??1，∴1?(x?2)?9，∴
2?3??(x?2)2?6?5，∴?3?y?5。
2∴函数y??x?4x?2（x?[?1,1]）的值域为[?3,5]。
例3．求函数y?2??x2?4x(x??0,4?)的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
f(x)??x2?4x(f(x)?0)配方得：f(x)??(x?2)2?4(x??0,4?)利
用二次函数的相关知识得f(x)??0,4?，从而得出：y???0,2?。
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说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：f(x)?0。
例4．若x?2y?4,x?0,y?0，试求lgx?lgy的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点P(x,y)在直线x?2y?4上滑动时函数lgx?lgy?lgxy的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：
x?(0,4),y?(0,2),而lgx?lgy?lgxy?lg[y(4?2y)]?lg[?2(y?1)2?2]，y=1时，lgx?lgy取最大值lg2。 【练习】
2．求下列函数的最大值、最小值与值域：
①y?x2?4x?1；
②y?x2?4x?1,x?[3,4]；
③
y?x2?4x?1,x?[0,1]；
1x2?2x?4④y?x?4x?1,x?[0,5]；○5y?，x?[,4]；○6
4x2y??x2?2x?3。
73]；○64【参考答案】①[?3,??)；②[?2,1]；③[?2,1]；④[?3,6]；○5[6,[0,2]
三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数
与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例5．求函数y?2x的值域。 x?1 第2页 共 14页
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。
y?y2x反解得x?，故函数的值域为(??,2)(2,??)。
2?yx?1【练习】 1．求函数y?2x?3的值域。
3x?2d?ax?b?，?c?0,x???的值域。
c?cx?d?232aa(,??)；(??,)(,??)。 3cc2．求函数y?【参考答案】1．(??,)四．分离变量法：
适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类
问题一般也可以利用反函数法。
1?x的值域。 2x?5177?(2x?5)?1?x解：∵2??1?2， y??22x?52x?522x?5711?x1∵2，∴y??，∴函数y?的值域为{y|y??}。
?022x?522x?5例6：求函数y?适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y?k?f(x)(k为常数)的形式。
x2?x例7：求函数y?2的值域。
x?x?1分析与解：观察分子、分母中均含有x2?x项，可利用分离变量法；则有
1?1?x?xx?x?1?1123。 y?2?2(x?)?x?x?1x?x?12422 第3页 共 14页
实用文档之求值域的10种方法
