深圳中考数学圆的综合 （大题培优 易错 难题 ）
一、圆的综合
1．如图， ⊙O 是△ABC的外接圆，点 E为△ABC内切圆的圆心，连接 AE的延长线交 BC于
点 F，交⊙O于点 D；连接 BD，过点 D作直线 DM，使 ∠BDM=∠DAC． （1）求证：直线 DM 是 ⊙O 的切线； （2）若 DF=2，且 AF=4，求 BD 和 DE的长．
【答案】（ 1）证明见解析（ 2）2 3 【解析】 【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到 OD⊥ BC，再根据 ∠ BDM=∠ DBC，即可判定
BC∥DM，
进而得到 OD⊥DM ，据此可得直线 DM 是⊙O 的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到 ∠ BED=∠ EBD，即可得出 DB=DE，再判
定△ DBF∽△DAB，即可得到 DB2=DF?DA，据此解答即可． 【详解】
（1）如图所示，连接 OD．
∵点 E 是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD， ∴ ?BD C?D ∴OD⊥BC．
，
又∵ ∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM． 又∵OD为⊙O半径，∴直线 DM 是⊙O的切线．
（2）连接 BE． ∵E为内心， ∴∠ABE=∠ CBE．
∵∠ BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠ BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即 ∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵ ∠BDF=∠ADB（公共角）， ∴ △DBF∽ △DAB， ∴ DF DB ，即 DB2=DF?DA．
DB DA
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF?DA=12，∴DB=DE=2 3 ．
点睛】 本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注
意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心 到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．如图，已知 △ABC内接于 ⊙O，BC交直径 AD于点 E，过点 C作 AD的垂线交 AB的延
长 线于点 G，垂足为 F．连接 OC． （1）若 ∠ G=48°，求∠ACB的度数； （2）若 AB=AE，求证： ∠ BAD=∠ COF；
（3）在（ 2）的条件下，连接 OB，设△ AOB 的面积为 S1， △ ACF的面积为 S2．若
3
【答案】（ 1） 48°（ 2）证明见解析（ 3）
4
【解析】 【分析】
（1）连接 CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（2）先根据等腰三角形的性质得： ∠ ABE=∠AEB，再证明 ∠BCG=∠DAC，可得
C?D ?PB ?PD ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结 论；
（3）过 O 作 OG⊥ AB于 G，证明 △COF≌△OAG，则 OG=CF=x， AG=OF，设 OF=a，则
3
OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（ 2x-a） 2=x2+a2，则 a= x，代入面积公式可得结
4
论． 【详解】 （1）连接 CD， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ ACD=90 ，° ∴∠ ACB+∠ BCD=90 ，° ∵AD⊥CG，
∴∠ AFG=∠ G+∠BAD=90 ，°
∵∠ BAD=∠ BCD， ∴∠ ACB=∠ G=48 °；
（2）∵AB=AE， ∴∠ ABE=∠AEB，
∵∠ ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC， 由（ 1）得： ∠G=∠ACB， ∴∠ BCG=∠DAC， ∴ C?D ?PB
，
∵AD 是⊙O 的直径， AD⊥ PC， ∴ C? D P?D
，
∴ C? D ?PB ?PD
，
∴∠ BAD=2∠DAC， ∵∠ COF=2∠DAC， ∴∠ BAD=∠ COF；
（3）过 O作 OG⊥ AB于 G，设 CF=x，
1 CF
∵tan ∠CAF= = ， 2 AF
∴AF=2x，
∵OC=OA，由（ 2）得： ∠COF=∠ OAG， ∵∠ OFC=∠ AGO=90 ，°
∴△ COF≌ △ OAG， ∴OG=CF=x，AG=OF， 设 OF=a，则 OA=OC=2x﹣中， CO2=CF2+OF2， ∴（ 2x﹣a） 2=x2+a2，
a= x3 4
，
3
∴ OF=AG= x，
4
∵OA=OB，OG⊥ AB，
3
∴ AB=2AG= x，
2 13
AB·OG
x·x ∴ S1
2
2
3 ．
S2 1
CF·AF x
·2x 4
2
a， Rt△COF
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