§2.6 对数与对数函数
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
M
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
N
nn③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamM＝logaM.
m(2)对数的性质
①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝②logab＝
1
，推广logab·logbc·logcd＝logad. logba
logaN
(a，b均大于零且不等于1)； logab
3．对数函数的图象与性质
1
4.反函数
指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．
x
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. (2)2log510＋log50.25＝5.
( √ ) ( × ) ( √ ) ( × ) ( × ) ( × )
( )
(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. (4)log2x2＝2log2x.
(5)当x>1时，logax>0.
(6)当x>1时，若logax>logbx，则a 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 A．c>b>a C．a>c>b 答案 D 解析 a＝log36＝1＋log32＝1＋b＝log510＝1＋log52＝1＋ 1 ， log23 B．b>c>a D．a>b>c 1 ， log251 c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c. log273．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则 A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y ( ) B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y 2 lg y C．2lg x·＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y 答案 D 解析 2 lg x ·2 lg y ＝2 lg x＋lg y ＝2lg(xy)．故选D. 4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 1 答案 (－，＋∞) 2 1 解析 函数f(x)的定义域为(－，＋∞)， 2 令t＝2x＋1(t>0)． 因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数， 1 t＝2x＋1在(－，＋∞)上为增函数， 2 1 所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－，＋∞)． 2 1?5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f?则不等式f(log1xx)>0 ?3?＝0， 8的解集为________________． 1 答案 ?0，?∪(2，＋∞) ?2?解析 ∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 11 由f??＝0，得f?－?＝0. ?3??3? 11 ∴f(log1x)>0?log1x<－或log1x> 33 8881 ?x>2或0 21 ∴x∈?0，?∪(2，＋∞). ?2? 题型一 对数式的运算 例1 (1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于 95104A. B. C. D. 4433 ??log2x，x>0，1 (2)已知函数f(x)＝?－x则f(f(1))＋f(log3)的值是 2?3＋1，x≤0，? 7 A．5 B．3 C．－1 D. 2 ( ) ( ) 3 思维启迪 (1)利用对数的定义将x＝log43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f(1)，再求f(f(1))； 1 f(log3)可利用对数恒等式进行计算． 2答案 (1)D (2)A 解析 (1)由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3， 32324 2－x＝，所以(2x－2－x)2＝()＝. 333(2)因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 111 因为log3<0，所以f(log3)＝3－log3＋1 222＝3log32＋1＝2＋1＝3. 1 所以f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5. 2 思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式． 1????x，x≥4， 已知函数f(x)＝?2则f(2＋log23)的值为________． ?f?x＋1?，x<4，? 答案 1 24 解析 因为2＋log23<4， 所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 而3＋log23>4， 111 所以f(3＋log23)＝()3＋log23＝×()log23 282 111＝×＝. 8324题型二 对数函数的图象和性质 例2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是 ( ) (2)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)， 4 b＝f(log13)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是 2 ( ) A．c B．c 思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B 解析 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B； 又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log13＝－log23＝－log49， 2b＝f(log13)＝f(－log49)＝f(log49)， 251?35log47 ?5?5又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数， 故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2 －0.6 ) 2思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等； (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想． 1?－0.8 (1)已知a＝21.2，b＝??2?，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( ) A．c B．c (2)已知函数f(x)＝loga(x＋b) (a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________. 答案 (1)A (2)2 2 1 解析 (1)b＝??－0.8＝20.8<21.2＝a， ?2?c＝2log52＝log522 (2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1， ???b－1＝1?b＝2∴?，即?. ?b＝a?a＝2?? 5
[步步高]（人教A版，文科）2015届高三数学第一轮大练习复习学案：2.6 对数与对数函数
