1．1.2 瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．
问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？ 提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置． 问题2：割线PPn斜率是什么？
f?xn?－f?x0?
提示：割线PPn的斜率是kn＝.
xn－x0
问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？ 提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率． 问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？ 提示：能．
1．割线
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线． 2．切线
随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线. 瞬时速度与瞬时加速度
一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？
8－3?1＋Δt?2－8＋3×12
提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝－6－3Δt.
Δt问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.
1．平均速度
运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度
S?t0＋Δt?－S?t0?
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无
Δt限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的
瞬时变化率．
3．瞬时加速度
v?t0＋Δt?－v?t0?
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无
Δt限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
导 数
1．导数
Δy
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝
Δxf?x0＋Δx?－f?x0?
无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)
Δx在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 3．导函数
(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．
(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．
[对应学生用书P5]
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.1.2 瞬时变化率——导数(含答案)
