正弦定理和余弦定理
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用
教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状
1、 正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即?ABC中，若?A,?B,?C所对的边分别为a,b,c则2、 解三角形
一般地，我们把三角形的三个角及其________分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：
（1） 已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有__________解； （2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。 3、 正弦定理的常见公式拓展：
①
____________
abc???2R（R为?ABC的外接圆半径） sinAsinBsinC②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC（边化角公式）
③sinA?abc,sinB?,sinC?(角化边公式) 2R2R2R1
④a:b:c?sinA:sinB:sinC ⑤
a?bb?cc?a???2R
sinA?sinBsinB?sinCsinC?sinAa?b?c?2RsinA?sinB?sinC
⑥
4、 余弦定理
①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
②定义式： ________________________ 5、 余弦定理的变形式和特例
a2?b2?c2c2?a2?b2b2?c2?a2,cosB?,cosA?①cosC?
2ab2ac2bc②C?90o?c2?a2?b2 ③C?60o?c2?a2?b2?ab ④C?120o?c2?a2?b2?ab ⑤C?30?c?a?b?3ab ⑥C?45?c?a?b?2ab 6、 余弦定理可以解决的两类三角形问题
（1） 已知三边长，求三个内角；
（2） 已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。
类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。
例1：（2015山东潍坊一中月考）在?ABC中，已知a?8,?B?60,?C?75, 则b等于（） A.43 B.45 C.46 D.练习1：在?ABC中，若?A?60,?B?45,BC?32,则AC?() 练习2：在?ABC中，已知a?2,B?30,A?45,求b 例2：在?ABC中，若a?练习3：在?ABC中，若a?
ooooo222o22222 3oo3,b?1,c?2,试求A 3,b?1,c?2,试求B
2
练习4：在?ABC中，若a?3,b?1,c?2,试求C
规律总结：已知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。
类型二：已知三角形两边及其中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。 例3：(2014北京高考)在?ABC中，a?3,b?5,sinA?1,则sinB=（） 3A.
155B. C. D.1
35 9oo练习5：（2015广东六校联盟第三次联考）)在?ABC中，?A?45,B?75,c?2, 则此三角形的最短边的长度是__________
练习6：（2014广东深圳模拟）已知?ABCa,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且
a?2,b?3,cosB?4 则sinA的值_________ 5例4：设?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若b?c?2a,3sinA?5sinB, 则角C为（）
2?3?5??A. B. C. D.
3463练习7：在△ABC中，b＝5，c＝53，A＝30°，则a等于( )
A. 5 B. 4 C.3 D.10
222练习8：在△ABC中，已知a?b?c?bc，则角A等于( )
类型三：判断三角形形状及面积
例5：（2015辽宁锦州月考）在?ABC中a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若ccosA?b,则?ABC的形状为（）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上皆有可能 练习9：在?ABC中，如果asinB?bsinA,则?ABC的形状为() A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 练习10：在?ABC中，如果asinC?csinA,则?ABC的形状为() A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形
o例6：在?ABC中，AB?3,AC?1,B?30,则?ABC的面积为____
2222o练习11：在?ABC中，A?60,AC?4,BC?23,则?ABC的面积等于多少
2
2
例7：(2014·江西理)在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若c＝(a－b)＋6，Cπ
＝，则△ABC的面积是( ) 3
3
(完整版)人教版高数必修五第1讲：正弦定理和余弦定理(学生版)
