线段的垂直平分线
学习目标
1.经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辩证思想。
2.能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。
3.通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用。
知识概要
1.线段的垂直平分线的概念
一条线段经过线段的中点且与线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线(又称中垂线)。 线段垂直平分线是一条直线，它是到线段两端距离相等的点的集合。 2.线段的垂直平分线的性质定理
性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等.
逆定理(判定定理)：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 性质定理可用来证明线段相等，逆定理用于证明一个点在某线段的垂直平分线上或证明两直线互相垂直.
3.(拓展)三角形三边垂直平分线定理
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 该定理可用以证明三角形内的线段相等.
经典题型精析
(一)中垂线的性质定理
例1.若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
试一试：如图，?ABC中，BD平分?ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF。若
，?ABD?24°，则?ACF?____________. ?A?60°
48°
例2.如图，已知在?ABC中，AB?AC?24cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，且?BCE
的周长为34cm，求底边BC的长。 10cm
试一试：如图，AD为?ABC的高，?B?2?C，BD?5，BC?20，求AB。
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例3.已知：如图，AD平分?BAC，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AD于点F. 求证：?EAC??B.
试一试：在Rt?ABC中，?C?90°，AB边的垂直平分线交直线BC于点D。若?BAD??DAC?15°，求?A
的度数。 15°或55°
(二)中垂线的判定定理
例4.如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到
三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置。
试一试：已知：如图，AB?AC，PB?PC。求证：直线AP垂直平分线段BC。
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例5.在梯形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，联结AE并延长AE交BC的延长线于点F。 (1)求证：CF?AD；
(2)若AD?2，AB?8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么?
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试一试：已知：如图，在?ABC中，AB?AC，?A?120°，AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M、N。
求证：CM?2BM。
(三)性质定理与判定定理的综合应用
例6.已知?ABC中，AB,BC,CA的中垂线分别为l1,l2,l3。求证：l1,l2,l3三线共点。
例7.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE,BE，BE?AE，延长AE交BC的
延长线于点F。求证：(1)FC?AD； (2)AB?BC?AD.
试一试：如图所示，?ABC中，BC?7，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E，AC的垂直平分线分
别交AC、BC于点F、G，求?AEG的周长。
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例8.已知：如图所示，在?ABC中，?ACB?90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平
分BD，M为垂足，DE交AC于点F。求证：E在AF的垂直平分线上。
试一试：已知：BE是?ABC的中线，从A点引?EBC的平分线的垂线为AM，垂足为点M，这条垂线与
BE、BC分别交于P、Q两点。求证：PE?
1QC。 2例9.(1)如图1，在?ABC中，AB?AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，?A?40°，
求?NMB的大小；
(2)如果将(1)中?A的度数改为70°(如图2)，其余条件不变，再求?NMB的大小； (3)如图3，若?A??，你发现有什么样的规律性?试证明之；
(4)将(1)中的?A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改?
(1) (2) (3)
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试一试：如图，在?ABC中，AB?AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M。
(1)若?B?70°，则?NMA的度数是__________； (2)探究?B与?NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB?8cm，?MBC的周长是14cm． ①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB?CP的值最小?若存在，标出点P的位置并求PB?CP的最小值；若不存在，说明理由．
例10.如图1，在?ABC中，?ACB?2?B，?BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过
点H作直线l?AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M。 (1)当直线l经过点C时(如图2)，证明：BN?CD；
(2)当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明； (3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系。
图1 图2 图3
CD?2CE; CD?BN?CE
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专题04 19.4 线段的垂直平分线-2020-2021学年初中数学截拳道（沪教版） - 图文
