∴，解得e＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题． 12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（ ） A．2019
B．0
C．1
D．﹣1
【分析】根据f（x+2）＝﹣f（x）即可得出f（x+4）＝f（x），即得出f（x）的周期为4，再根据f（x）是R上的奇函数即可得出f（0）＝0，并得出f（2）＝0，f（3）＝﹣f（1），从而得出f（1）+f（2）+f（3）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，从而得出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝0． 【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x）； ∴f（x+4）＝f（x）； ∴f（x）的周期为4；
f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0；
∴f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1），f（4）＝﹣f（2）＝0； ∴f（1）+f（2）+f（3）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0；
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝0． 故选：B．
【点评】考查奇函数、周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，已知函数求值的方法．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）抛物线y2＝4x上的点P（4，m）到其焦点的距离为 5 ．
【分析】点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+，从而得到结论．
【解答】解：由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+＝4+1＝5， 故答案为：5．
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【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，体现了转化的数学思想，利用抛物线的定义是解题的关键．
14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＝则c＝ 2
【分析】直接由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，代入数值得到关于c的一元二次方程，解方程可得c． 【解答】解：∵B＝
，b＝
，a＝1，
，b＝
，a＝1，
∴由余弦定理，有b2＝a2+c2﹣2accosB， 即c2﹣c﹣2＝0，∴c＝2． 故答案为：2．
【点评】本题考查了余弦定理的应用和一元二次方程的解法，属基础题． 15．（5分）若面数f（x）＝为 [0，+∞）
【分析】分别讨论f（x）的单调性，求得最值，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．
【解答】解：当x≤2时，f（x）＝2|x
﹣2|
的最小值为f（2），则实数a的取值范围
，递减，即有f（x）≥1；
当x＞2时，f（x）＝log2（x+a）递增，可得f（x）＞log2（，2+a）， 由题意f（x）的最小值为1，可得log2（2+a）≥1，解得a≥0， 故答案为：[0，+∞）．
【点评】本题考查分段函数的单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．
16．（5分）一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 21π
【分析】由题意，三棱柱为正三棱柱，正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积． 【解答】解：由题意，三棱柱为正三棱柱，正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径， ∴r＝
，
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球的表面积为：4πr2＝4π（故答案为：21π．
）2＝21π．
【点评】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键，是基础题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共60分. 17．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F＝2FB． （Ⅰ）求证：A1C1⊥D1D；
（Ⅱ）求平面AEF与平面AA1D1D所成锐二面角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由D1D⊥平面A1B1C1D1，能证明A1C1⊥D1D．
（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面AA1D1D所成锐二面角的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， D1D⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1， ∴A1C1⊥D1D．
解：（Ⅱ）如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），E（0，0，1），F（2，2，），B（2，2，0）， ∴
＝（﹣2，0，1），
＝（0，2，），
＝（0，2，0），
设＝（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，
则，取z＝6，得＝（3，﹣2，6），
∵AB⊥平面AA1D1D，
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∴
＝（0，2，0）是平面AA1D1D的一个法向量，
＞＝
＝
＝﹣，
∴cos＜
∴平面AEF与平面AA1D1D所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣2n+2． （Ⅰ）证明：数列{an+2n}是等差数列； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn
【分析】（Ⅰ）运用等差数列的定义，结合条件即可得证；
（Ⅱ）由等差数列的通项公式可得an＝2n+1﹣2n，再由数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简可得所求和． 【解答】解：（Ⅰ）证明：a1＝1，an+1＝an﹣2n+2． 可得an+1+2n+1＝an+2n+2． 即有an+1+2n+1﹣（an+2n）＝2．
数列{an+2n}是首项为3，公差为2的等差数列； （Ⅱ）an+2n＝3+2（n﹣1）＝2n+1， 即an＝2n+1﹣2n，
则Sn＝（3+5+…+2n+1）﹣（2+4+…+2n） ＝n（2n+4）﹣
＝n2+2n﹣2n+1+2．
【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式，等比数列的求和公式，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题．
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19．（12分）第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行．届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（2）设随机变量ξ为这四名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
【分析】（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件M，根据题意求出P（M），再由P（）＝1﹣P（M），即可得出结果；
（2）根据题意，先确定ξ可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望．
【解答】解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件M， 那么P（M）＝
＝．
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（）＝1﹣P（M）＝1﹣＝． （2）由题意，知随机变量ξ可能取得的值为1，2． 则P（ξ＝2）＝
＝．
所以P（ξ＝1）＝1﹣P（ξ＝2）＝1﹣＝． 所以所求的分布列是
ξ P
所以Eξ＝1×
＝．
1
2
【点评】本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝（2x2﹣4ax）lnx，a＝R． （Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞1时，若函数g（x）＝f（x）+x2在x＝[1，+∞）上有两个不同的零点，求a的取值范围．
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2018-2019学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（理科）
