高考模拟数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位
置上）
1．函数f(x)＝lnx＋1－x的定义域为 ▲ ．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ．
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号 开始 a1 k←1 5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲ ．d码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ． 6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．
S＞6 N Y 输出k S←1 S←S＋(k－1)2 k←k＋1 π(第6题图)
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为
3▲ ．
－2 O π 6· π11 x 12y 2 结束 x2y2(第7题图)
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于
abA，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．
9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．
2π→1→1→→→→→10．已知|OA|＝1，|OB|＝2，∠AOB＝，OC＝OA＋OB，则OA与OC的夹角大小为 ▲ ．
32411．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为 ▲ ．
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且． 若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为 ▲ ．
13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ▲ ．
14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
5
1．(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1
91757
8．5 9． 10．60° 11．1或 12．22－2 13．(，) 14．[－1，1]
22333二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB， BP＝BC，E为PC的中点． （1）求证：AP∥平面BDE； （2）求证：BE⊥平面PAC． 15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
B
(第15题图)
C E
A D
P
因为E是PC中点，所以OE∥AP． …………………………………………4分 因为AP?/平面BDE，OE?平面BDE，
所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面PAB． ………………………………………8分 因为AP?平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，
所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分 因为BE?平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC． 因为PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，
所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分 16．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交 πππ
于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．
4243
（1）若x1＝，求x2；
5
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及 4 △BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．
33
16．解：（1）解法一：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝
5
4
1－x21＝． 5
(第16题图) D O y B A C x 43
所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分 55
πππ2
所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－． …………………………………6分
444103
解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝
5
43434→
1－x21＝．A(，)，则OA＝(，)，…………2分 55555
342 →→→→→
OB＝(x2，y2)， 因为OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分
552 又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－302x2－7＝0 解得x2＝－
2 722
或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分 101010
4344
1－x21＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分 5553
3
解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝
5
π1＋tanα
所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分
41－tanα
?y＝－7x，2 2
由?2得x＝±，又x＜0，所以x＝－． …………………6分 22
1010?x＋y2＝1．
11
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分
24
ππππ3π因为α∈(，)，所以α＋∈(，)．
42424
1ππ1π1
所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分
244424444
因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分
3332tanα41ππ
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α∈(，)，所以tanα＝2．………14分
32421－tan2α17．(本小题满分14分)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)． MNAM
解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
sin60°sin(120°－θ)
N
C
P
因为MN＝2，所以AM＝
43
sin(120°－θ) ． ………………2分 3
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP ＝分
＝
162163
sin(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 33
16243sin(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………833
883＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4 33820＝－[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
33＝
2016
－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 33
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．
答：设计∠AMN为60?时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分 MNAM在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
sin60°sinθAM＝
4343π
sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………A 6分 332
第17题图
M P
N
C
D B 43
AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2
3＝＝＝
16283sinθ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分 33161－cos2θ4343820·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋ 323333
2016π2π
＋sin(2θ－)，θ∈(0，)． …………………………12分 3363πππ 当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．
623
此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分 解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分
因为
MNAN2y
＝，即＝， sin60°sinαsin60°sinα
x2＋4－y2x2＋(x2－xy)2x－y3
所以sinα＝y，cosα＝＝＝． …………………………………………6
44x42×2×x分
1312x－y33x－2y
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8
2224244分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP， 即AP2＝x2＋4－2×2×x×分
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4． 所以AP2≤12，即AP≤23．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值23．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x1，0)，N(x2，3x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，
∴(x1－x2)2＋3x22＝4． …………………………………………2分 x1＋x23MN的中点(，x2)．
22
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴P＝3，P⊥MN． ∴P2＝(x0－
x1＋x223
)＋(y0－x2)2＝3， 22
y0－x－2y
＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………124
3x223x2
kMN·kP＝－1，即·＝－1， …………………………………………6分
x2－x1x1＋x2
x0－
2x1－x2x1＋x2x1＋x22332(x1－x2)2
∴y0－x2＝(x0－)，∴(y0－x2)＝(x0－)
22223x23x22
(x1－x2)2x1＋x22x1＋x22x1＋x22924∴(1＋)(x0－)＝3，即(x0－)＝3，∴(x0－)＝x2．
222243x23x22x1＋x2x1＋x23
∵x0－＞0 ∴x0－＝x2，
222
13
∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分
222＝(2x2＋1x1)2＋3x2＝x2＋4x2＋2x1x2
∴AP2＝x2＋y0022411
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分
即AP≤23．
【20套精选试卷合集】北京市一零一中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
