第三讲 函数的奇偶性
【套路秘籍】---千里之行始于足下 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 f(x)的定义域内任意一个x，都偶函数 一般地，如果对于函数关于y轴对称 有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都奇函数 关于原点对称 有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性：
1＋x
2
（1）f(x)＝(1－x)
1－x； (2)f(x)＝???－x＋2x＋1，x>0，??
x2
＋2x－1，x<0；
2(3)f(x)＝4－x|x＋3|－3
. （4）f(x)＝3－x2＋x2
－3；
【答案】见解析
【解析】(1)当且仅当1＋x1－x≥0时函数有意义，所以－1≤x<1，由于定义域关于原点不对称，所以函数f(x)
是非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2
－2x－1＝－f(x)， 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
2
(3)解法一：因为??
?
4－x≥0，??|x＋3|≠3
?－2≤x≤2且x≠0，所以函数的定义域关于原点对称．
4－x2
4－x2
所以f(x)＝4－?－x2
2
x＋3－3＝x，又f(－x)＝?－x＝－4－xx，
所以f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
解法二：求得函数f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．化简函数f(x)，可得f(x)＝4－x2
x，
由y1＝x是奇函数，y2＝4－x2
是偶函数，可得f(x)＝
4－x2
x为奇函数．
2
（4）由???3－x≥0，2
?2得x＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}?
x－3≥0，，
从而f(x)＝3－x2＋x2
－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 【套路总结】 一、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系． 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 二、判断函数奇偶性的方法 1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f?－x?f?x?＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性． 2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0. 4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 【举一反三】
1.判断下列函数的奇偶性：
2
2
(1)f(x)＝36－x2＋x2
－36；(2)f(x)＝ln?1－x???x＋x，x<0，|x－2|－2；(3)f(x)＝??
?
－x2
＋x，x>0.
【答案】见解析
2
【解析】(1)由??
?36－x≥0，2
?
?x2
－36≥0，
得x＝36，解得x＝±6，即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f(x)＝36－x2
＋x2－36＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
2
(2)由???
1－x>0，??|x－2|≠2，
得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ln?1－x2
?－x.
2
2
又∵f(－x)＝ln[1－?－x?]x＝ln?1－x?
x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2
－x＝－x2
－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2
－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． 2.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是________．(填序号)
①f(x)＝x＋sin 2x; ②f(x)＝x2－cos x；③f(x)＝3x－12
3x； ④f(x)＝x＋tan x.
【答案】 ④
【解析】对于①，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于②，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2
－cos(－x)＝x2
－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于③，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－1?x1?3－x＝－??3－3x??＝－f(x)，所以f(x)＝
3x－13
f(x)＝x2
x为奇函数；对于④，＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．
考向二 奇偶性运用一---求解析式
【例2】（1）已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e
－x－1
－x，则f(x)＝________.
（2）已知函数??(??)是定义在(?∞??,??+∞)上的奇函数，当??∈[0??,??+∞)时，??(??)=??2?4??，则当??∈(?∞??,??0)时，??(??)=______.
－x－1
【答案】（1） ???e
－x，x≤0，??
ex－1
＋x，x>0
（2）???2?4??
【解析】（1）∵当x>0时，－x<0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1
＋x，∴f(x)＝??－x－1
?e－x，x≤0，??
ex－1
＋x，x>0.
（2）当x∈(?∞,??0)时，?x∈(0??,??+∞)),由奇函数可得f(x)=?f(?x)=?[(?x)2?4(?x)]=?x2?4x. 故答案为?x2?4x 【举一反三】
1．已知函数??(??)是奇函数，当??>0时??(??)=2???1
??，则??(?1)=______． 【答案】?1
2024新高考一轮复习专题2.3 函数的奇偶性(解析版)
