DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.
（2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间， 再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案.
6．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；
（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为 的长；
（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由； （4）如图2，当△ECD的面积S1＝
时，求AE的长．
，求AE
【答案】（1）解：现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE?△CBF. 由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°， ∴∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE，∴△ABE?△CBF.
（2）解：由（1）知点E在运动过程中始终有△ABE?△CBF，
因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和，
∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积，因△ABC的边长为2，则
，
∴四边形BECF的面积为 ∴ ∴ （3）解：
.
，又四边形ABFC的面积是
，
，在三角形ABE中，因∠A=60°，∴边AB上的高为AEsin60°,
，则AE= .
由图2知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，
又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE，∴△ABE?△CBF， ∴ 则
（4）解：由（3）知 由
得 ，∴
，则 ，即
，∵△ABE?△CBF，
，
，
∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，
又∠BAE=∠ABC=60°，得∠ABC=∠BCF，∴CF∥AB，则△BDF的边CF上的高与△ABC的高相等，即为
，
则DF= ，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，∴CD=x- ，
在△ABE中，由CD∥AB得， 化简得
即CE=1，∴AE=3.
，即
，
，∴x=1或x=? （舍），
【解析】【分析】（1）不难发现△ABE?△CBF，由等边三角形的性质得到相应的条件，根据“SAS”判定三角形全等；（2）由（1）可得△ABE?△CBF，则 ABFC= 面积为
=
，则四边形
，由四边形ABFC的
和等边三角形ABC的边长为2，可求得△ABE的面积，由底AB×AEsin60°，构造
方程可解出AE.（3）当E在AC的延长线上时，△ABE?△CBF依然成立，则
，即
（4）由（3）可求出△FBD
由等量关系即可得答案.
的面积，由△ABE?△CBF，则
AE=CF，
∠BAE=∠BCF=60°=∠ABC，则CF//AB,则对于△BDF的边CF上的高等于△ABC的高，则可求出DF的长度；由AE=CF，可设CE=x，且CD//AB可得
，代入相关值解出x即可.
7．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。连接MN。
（1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。
【答案】（1）解：设直线BC解析式为：y=kx+b， ∵B（0，4），C（-3，0）， ∴
，
解得：
∴直线BC解析式为：y= x+4.
（2）解：依题可得：AM=AN=t，
∵△AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合， ∴四边形AMDN为菱形，
作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，
∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3,OB=4， ∴AB=5, ∴M（3-t，0）， 又∵△ANF∽△ABO， ∴ = = ∴ = =
, ,
∴AF= t，NF= t， ∴N（3- t， t）， ∴O′（3- t, t）， 设D（x,y）, ∴
=3- t，
= t，
∴x=3- t,y= t， ∴D（3- t， t）， 又∵D在直线BC上， ∴ ×（3- t）+4= t， ∴t= ， ∴D（- ， ）.
（3）①当0 △ABC在直线MN右侧部分为△AMN， ∴S= = ·AM·DF= ×t× t= t , ②当5 ∵AM=AN=t，AB=BC=5， ∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t， 又∵△CNF∽△CBO， ∴ = , ∴ = , ∴NF= （10-t）， ∴S= - = ·AC·OB- ·CM·NF， = ×6×4- ×（6-t）× （10-t）， =- t + t-12. 【解析】【分析】（1）设直线BC解析式为：y=kx+b，将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可得出直线BC解析式.（2）依题可得：AM=AN=t，根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，结合已知条件得M（3-t，0），又△ANF∽△ABO，根据相似三角形性质得 = = , 代入数值即可得AF= t，NF= t，从而得N（3- t， t），根据中点坐标公式得O′（3- t, t）， 设D（x,y）,再由中点坐标公式得D（3- t， t），又由D在直线BC上，代入即可得D点坐标.（3）①当0 ②当5 = ,代入数值得NF= （10-t），最后由S= - = ·AC·OB- ·CM·NF，代入数值即可得表达式. 8．如图，在菱形ABCD中， ， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE.
备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶相似
