一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.
连结BE、BF。使它们分别与AO相交于点G、H（1）求EG ：BG的值 （2）求证：AG=OG
（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求a : b : c的值 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO= AC，AD=BC，AD∥BC， ∴△AEG∽△CBG， ∴ = =
．
∵AE=EF=FD， ∴BC=AD=3AE， ∴GC=3AG，GB=3EG， ∴EG：BG=1：3
（2）解：∵GC=3AG（已证）， ∴AC=4AG， ∴AO= AC=2AG， ∴GO=AO﹣AG=AG （3）解：∵AE=EF=FD， ∴BC=AD=3AE，AF=2AE． ∵AD∥BC， ∴△AFH∽△CBH， ∴ = =
= ，
∴ = ，即AH= AC． ∵AC=4AG， ∴a=AG= AC，
b=AH﹣AG= AC﹣ AC= AC， c=AO﹣AH= AC﹣ AC= AC， ∴a：b：c= ： ： =5：3：2
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可证得△AEG∽△CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出EG：BG的值。
（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，就可证得AC=4AG，从而可得AO=2AG，即可证得结论。
（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合AO=AC，即可得到用含AC的代数式分别表示出a、b、c，就可得到a：b：c的值。
2．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明． 【答案】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
， = ,
即
是
的切线
（2）解：猜想：MN∥AB． 证明：连结CB．
∵直径AB经过弦CD的中点E， ∴ = , ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴
∵
= ,
∵ ∴ ∴
∴MN∥AB．
【解析】【分析】（1）要证DF是⊙O的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=可。由垂径定理可得AB⊥CD，则∠BOD+∠ODE=得∠BOD=∠CDF，则结论可得证；
（2）猜想：MN∥AB．理由：连结CB，由已知易证△CBN∽△AOM，可得比例式
，于是由已知条件可转化为
，∠ODB是公共角，所以可得
即
，而∠ODF=∠CDF+∠ODE，由已知易
△MDN∽△ODB，则∠DMN=∠DOB，根据平行线的判定可得MN∥AB。
3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解： ∴ 代入 解得
，得
∴抛物线对应二次函数的表达式为：
（2）解：如图，
设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作
由
∴ ∴ ∴ ∴ ∴
为等腰直角三角形．
点 ．
得对称轴为直线x=1，
∴ ∴ 设 ∴ 在 ∴ ∴ 整理，得 解得，
为等腰三角形．
中，
或 ∽
．
∴点P的坐标为
（3）解：存在点M，使得 如图，连结
∵ ∴ ∴
由（2）可知， ∴ ∴ 当 ∴ ∴ ∴
时， ，解得
．
分两种情况．
为等腰直角三角形，
当 ∴ ∴ ∴
时，
，解得
或
综上，点M的坐标为
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；
（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：求解。
或
，根据所得比例式即可
4．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；
（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围． 【答案】（1）解：如图1中，
点F在AC上，点E在BD上时，①当
时，△CFE∽△CDA，
∴ ∴t= ， ②当 ∴t=2，
= ，
时，即
= ，
当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似， 综上所述，t= s或2s时，△EFC和△ACD相似． （2）解：不存在．
理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．
∵CF=5t．BE=4t， ∴CH=CF?cosC=4t， ∴BE=CH， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴DE=DH， ∵DN∥FH， ∴
=1，
∴EN=FN， ∴S△END=S△FND ，
∴△EFD被 AD分得的两部分面积相等，
同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等， ∴不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5．
（3）解：①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．
由 =cosC= ，可得 ∴t= ，
∴0≤t＜ 时，⊙O与线段AC只有一个交点．
②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t= ．
= ，
③如图5中，当⊙O与AB相切时，cosB= ，即 =
，解得t=
．
④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．
由cosB= = ，即 = ，t= ，
∴ ＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一个交点．
综上所述，当⊙O与线段AC只有一个交点时，0≤t＜ 或 或
或
＜t≤4
【解析】【分析】（1）分类讨论：根据路程等于速度乘以时间，分别表示出BE,,CE,CF的长，①当
时，△CFE∽△CDA，②当
时△CEF∽△CDA，根据比例式，分别
列出方程，求解t的值；当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，即可得出答案；
（2）不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．由题意知CF=5t．BE=4t，根据余弦函数的定义由CH=CF?cosC，表示出CH的长，从而得出BE=CH，根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC，根据等量减等量差相等得出DE=DH，根据平行线分线段成比例定理得出
=1得出EN=FN，根据三角形中线的性
质得出S△END=S△FND ， △EFD被 AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等，故不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5；
（3）①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．根据余弦函数的定义，由的值，故0≤t
，结论列出方程，求解得出t
时，⊙O与线段AC只有一个交点；②如图4中，当⊙O与AC相切时，
；③如图5中，当⊙O与AB相切时，根据余弦函数的定义，由
满足条件，此时t=cosB=
，列出方程，求解得出t的值；④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则
，列出方程求出t的值，故＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一
∠EAF=90°．由cosB=
个交点；综上所述，得出答案。
5．如图,在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.
（1）此时两人相距多少米(DE的长)? （2）张华追赶王刚的速度是多少? 【答案】（1）解：在Rt△ABC中： ∵AB=40，BC=30， ∴AC=50 m. 由题意可得DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴ = ，
即 = . 解得DE= m. 答：此时两人相距 m. （2）解：在Rt△BDE中： ∵DB=2，DE=， ∴BE=2 m.
∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m. ∴王刚走这段路程用的时间为 =14(s). ∴张华用的时间为14-4=10(s)，
∵张华走的总路程为AD=AB-BD=40-2=37（m）, ∴张华追赶王刚的速度是37÷10≈3.7（m/s）. 答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s.
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=50 m，利用平行投影的性质得
DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.
（2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间， 再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案.
6．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；
（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为 的长；
（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由； （4）如图2，当△ECD的面积S1＝
时，求AE的长．
，求AE
【答案】（1）解：现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE?△CBF. 由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°， ∴∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE，∴△ABE?△CBF.
（2）解：由（1）知点E在运动过程中始终有△ABE?△CBF，
因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和，
∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积，因△ABC的边长为2，则
，
∴四边形BECF的面积为 ∴ ∴ （3）解：
.
，又四边形ABFC的面积是
，
，在三角形ABE中，因∠A=60°，∴边AB上的高为AEsin60°,
，则AE= .
由图2知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，
又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE，∴△ABE?△CBF， ∴ 则
（4）解：由（3）知 由
得 ，∴
，则 ，即
，∵△ABE?△CBF，
，
，
∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，
又∠BAE=∠ABC=60°，得∠ABC=∠BCF，∴CF∥AB，则△BDF的边CF上的高与△ABC的高相等，即为
，
则DF= ，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，∴CD=x- ，
在△ABE中，由CD∥AB得， 化简得
即CE=1，∴AE=3.
，即
，
，∴x=1或x=? （舍），
【解析】【分析】（1）不难发现△ABE?△CBF，由等边三角形的性质得到相应的条件，根据“SAS”判定三角形全等；（2）由（1）可得△ABE?△CBF，则 ABFC= 面积为
=
，则四边形
，由四边形ABFC的
和等边三角形ABC的边长为2，可求得△ABE的面积，由底AB×AEsin60°，构造
方程可解出AE.（3）当E在AC的延长线上时，△ABE?△CBF依然成立，则
，即
（4）由（3）可求出△FBD
由等量关系即可得答案.
的面积，由△ABE?△CBF，则
AE=CF，
∠BAE=∠BCF=60°=∠ABC，则CF//AB,则对于△BDF的边CF上的高等于△ABC的高，则可求出DF的长度；由AE=CF，可设CE=x，且CD//AB可得
，代入相关值解出x即可.
7．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。连接MN。
（1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。
【答案】（1）解：设直线BC解析式为：y=kx+b， ∵B（0，4），C（-3，0）， ∴
，
解得：
∴直线BC解析式为：y= x+4.
（2）解：依题可得：AM=AN=t，
∵△AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合， ∴四边形AMDN为菱形，
作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，
∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3,OB=4， ∴AB=5, ∴M（3-t，0）， 又∵△ANF∽△ABO， ∴ = = ∴ = =
, ,
∴AF= t，NF= t， ∴N（3- t， t）， ∴O′（3- t, t）， 设D（x,y）, ∴
=3- t，
= t，
∴x=3- t,y= t， ∴D（3- t， t）， 又∵D在直线BC上， ∴ ×（3- t）+4= t， ∴t= ， ∴D（- ， ）.
（3）①当0 △ABC在直线MN右侧部分为△AMN， ∴S= = ·AM·DF= ×t× t= t , ②当5 ∵AM=AN=t，AB=BC=5， ∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t， 又∵△CNF∽△CBO， ∴ = , ∴ = , ∴NF= （10-t）， ∴S= - = ·AC·OB- ·CM·NF， = ×6×4- ×（6-t）× （10-t）， =- t + t-12. 【解析】【分析】（1）设直线BC解析式为：y=kx+b，将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可得出直线BC解析式.（2）依题可得：AM=AN=t，根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，结合已知条件得M（3-t，0），又△ANF∽△ABO，根据相似三角形性质得 = = , 代入数值即可得AF= t，NF= t，从而得N（3- t， t），根据中点坐标公式得O′（3- t, t）， 设D（x,y）,再由中点坐标公式得D（3- t， t），又由D在直线BC上，代入即可得D点坐标.（3）①当0 ②当5 = ,代入数值得NF= （10-t），最后由S= - = ·AC·OB- ·CM·NF，代入数值即可得表达式. 8．如图，在菱形ABCD中， ， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE. （1）求DE的长； （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ①求证：△ ②求DF的长. 【答案】 （1）解：连结BD △ ； , （2）解：① ② 【解析】【分析】（1） 连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长； （2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF； ②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案. ， 又 9．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的 速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒． （1）当t=________时，PQ∥AB （2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？ （3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 能垂直，理由如下： 延长QE交AC于点D， ∵将△PQC翻折，得到△EPQ， ∴△QCP≌△QEP， ∴∠C=∠QEP=90°， 若PE⊥AB，则QD∥AB， ∴△CQD∽△CBA， ∴ ∴ ， ， ∴QD=2.5t， ∵QC=QE=2t ∴DE=0.5t ∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°， ∴△ABC∽△DPE， ∴ ∴ 解得： ， ， 综上可知：当t= 时，PE⊥AB 【答案】 （1）2.4 （2）解：∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动， ∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t， ∴S△CPQ= CP?CQ= ∴t2-6t+5=0 解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去） ∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2 ＝5， （3）解： 【解析】【解答】解：(1) ∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动， ∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t， 当PQ∥AB时，∴△PQC∽△ABC， ∴PC：AC=CQ：BC， ∴(6-t)：6=2t：8 ∴t=2.4 ∴当t=2.4时，PQ∥AB 【分析】（1）根据题意可得PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，根据平行线可得△PQC∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例可得PC：AC=CQ：BC，即得(6-t)：6=2t：8，求出t值即可； （2） 由S△CPQ= CP?CQ =5，据此建立方程，求出t值即可； （3） 延长QE交AC于点D， 根据折叠可得 △QCP≌△QEP，若PE⊥AB，则QD∥AB，可得 △CQD∽△CBA， 利用相似三角形的对应边成比例，求出DE=0.5t，根据两角分别相等可证 △ABC∽△DPE，利用相似三角形对应边成比例 值即可. ， 据此求出t 10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点． （1）求A、A′、C三点的坐标； （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标． 【答案】 （1）解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， 则C（﹣1，0），A′（3，0）， 当x＝0时，y＝3，则A（0，3） （2）解：∵四边形ABOC为平行四边形， ∴AB OC ， AB＝OC ， 而C（﹣1，0），A（0，3）， ∴B（1，3）， ∴OB＝ ＝ ，S△AOB＝ ×3×1＝ ， 又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′， ∴∠ACO＝∠OC′D ， OC′＝OC＝1， 又∵∠ACO＝∠ABO ， ∴∠ABO＝∠OC′D ． 又∵∠C′OD＝∠AOB ， ∴△C′OD∽△BOA ， ∴ ＝( )2＝（ ）2＝ ， ∴S△C′OD＝ × ＝ （3）解：设M点的坐标为（m ， ﹣m2+2m+3），0＜m＜3， 作MN m+3）， ∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m ， y轴交直线AA′于N ， 易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m ， ﹣ ∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′ ＝ MN?3 ＝ （﹣m2+3m） ＝﹣ m2+ m ＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴当m＝ 时，S△AMA'的值最大，最大值为 ，此时M点坐标为（ ， ）． 【解析】【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出C（﹣1，0），A′（3，0）；计算自变量为0时的函数值可得到A（0，3）；（2）先由平行四边形的性质得AB∥OC ， AB＝OC ， 易得B（1，3），根据勾股定理和三角形面积公式得到OB＝ ，S△AOB＝ ，再根据旋转的性质得∠ACO＝∠OC′D ， OC′＝OC＝1，接着证明△C′OD∽△BOA ， 利用相似三角形的性质得 ＝( )2 ， 则可计算出S△C′OD；（3）根据二次函数图象 y轴交直 上点的坐标特征，设M点的坐标为（m ， ﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN 线AA′于N ， 求出直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m ， ﹣m+3），于是可计算出MN＝﹣m2+3m ， 再利用S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′和三角形面积公式得到S△AMA′＝﹣ m2+ m ， 然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时即可确定此时M点的坐标． 11．如图1，在△ABC中，在BC边上取一点P，在AC边上取一点D，连AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”. （1）如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，则∠PAC的度数是________； （2）如图3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”，并说明理由； （3）如图4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，请写出AD长度的所有可能值. 【答案】 （1）30° （2）解：如图3中，△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”， 理由：作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D， ∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B， ∴DP=DA， ∵∠CAB=2∠C， ∴∠BAP =∠C， ∴△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似， ∴△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形” （3）解：如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x， ①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x， ∴90°-x+2x+x=180°， ∴x=45°， ∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1； ②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x， 得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°， 设AD=a，则AP= ∵△BPD∽△CPA， ∴ 解得 ，即 ， ， 如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角， ∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA， 设AD=a，则BD=2-a， ， 解得a= ∠CAP为锐角， ， 如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角， ，AC=2， ∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°， 在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°， 解得x=45°，不可能成立． 综上所述．AD的长为1或 ∵AB＝AC，DA＝DP， ∴∠B＝∠C，∠DAP＝∠DPA， ∵∠PAC＝∠BPD， ∴∠APC＝∠BDP＝∠DAP＋∠DPA， ∵∠APC＝∠B＋∠BAP， ∴∠B＝∠PAB＝50°， ∵∠BAC＝180°?50°?50°＝80°， ∴∠PAC＝30° 故答案为30° 【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明∠B＝∠PAB即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，根据平行线的性质和角平分线定义可得∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，结合∠A=2∠C可证△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，即可解决问题．（3）分三种情形讨论：如图3′中，当DA＝DP时；如图4中，当PA＝PD时；如图5中，当AP＝AD时；分别求解即可解决问题． 或 【解析】【解答】（1）解：如图2中， 12．如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sin∠EFA= ,AF= ,求线段AC的长. 【答案】 （1）解：如图1，连接 ， ∵ ∴ ∵ 平分 ∴ ∴ ∴ ∥ , ∴ ∴ ∵ 为 ∴ 是 . ， . ， . . 的半径， 的切线. （2）解：如图2，连接 . 由题可知 为 ∴ ∵ 平分 ， 的直径， . ∴ ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∵ ∴ 在 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∽ . ， . 中， . ， 中， . . . ∴△AFD为等腰直角三角形， ， . ， . . . ， （或6.4） ，根据平行线的判定可得OE∥AC，再由平行线的性质可得 【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和角平分线定义可得 ∠BEO=∠C=90°，即可证得结论；（2）连接 中，根据勾股定理求得 .在 角形的性质即可求得线段AC的长. ,根据已知条件易证 .在 .根据同弧所对的圆周角相等及已知条件可得 中求得AE的长，再证明ΔACE∽ΔAED，根据相似三
备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶相似
