（部编本人教版）[精品资料]版高中数学 第一章 1.1.3 习题课正弦定理和余弦定理的综合应用练习 新人教A版

习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用

课后篇巩固探究

A组

1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为( )

A. B.- C. D.-

解析∵sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得a∶b∶c=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),

则cos C=.

答案A 2.(2017·江西南昌二中测试)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(A.30°

a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为( )

B.60°

C.120°

D.150°

解析∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c(a+c),

即a+c-b=-222

ac.由余弦定理,得cos B=-.

又B为△ABC的内角,∴B=150°.故选D. 答案D 3.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(

+1)∶2,则最大角为( )

A.45° B.60° C.75° D.90°

解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以

,解得tan A=1,所以

A=45°,C=75°.

答案C 22

4.在△ABC中,asin 2B+bsin 2A=2ab,则△ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

22222

解析由asin 2B+bsin 2A=2ab,得sinAsin 2B+sin Bsin 2A=2sin Asin B,即sinA·2sin Bcos B+sin2B·2sin Acos A=2sin Asin B,

1

所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90°,所以C=90°,故△ABC是直角三角形. 答案B 5.在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是( )

A. B.

C. D.

解析在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理,得,∴sin C=sin A.∵A∈(0,π),

∴0c,∴角C是锐角,∴C∈.故选D.

答案D 6.(2017·江苏南通中学)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.

解析由3sin A=5sin B结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=a,c=a.由余弦定理,得

cos C==-,故C=120°.

答案120°

7.(2017·山西运城中学月考)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,c=3b,则= .

解析由余弦定理,得a=b+c-2bccos A=222

+c2-2×c×c×c2,所以.

答案

8.在△ABC中,a,b,c分别为三内角A,B,C所对的边,若B=2A,则的取值范围是 .

解析=cos A.因为A+B+C=π,所以0

2

答案9.

导学号04994007在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos

B-ccos B.

(1)求cos B的值;

(2)若

=2,且b=2,求a和c的值.

解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆半径, 则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.又sin A≠0,因此cos B=. (2)由

2

=2,得accos B=2.由(1)知cos B=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,

.

所以(a-c)=0,即a=c,所以a=c=B组

1.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan B=5,bsin A=4,则a等于( )

A. B.

C.5 D.

解析由已知,得.

由正弦定理,得答案D ,所以cos B=,从而sin B=,tan B=,代入atan B=5可得a=.

2.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为( )

A. B.5

C. D.5

3

解析在△ADC中,由余弦定理,得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,则∠

ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=.

答案C 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=(b+c)cos C,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形

解析由已知及正弦定理,得sin A=(sin B+sin C)cos C, 即sin(B+C)=(sin B+sin C)cos C,

所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos C,

所以cos Bsin C=sin Ccos C.因为sin C≠0,所以cos B=cos C,故必有B=C,从而△ABC是等腰三角形. 答案A 4.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2C=1-,则角B等于( )

A. B. C. D.

解析由cos 2C=1-结合正弦定理,得1-2sinC=1-2

,于是sinB=,从而sin B=.因为

2

△ABC是锐角三角形,所以B=. 答案A 5.(2017·云南昆明一中月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°,c=,则

= .

解析由正弦定理,得,即a=2sin A,

则

=

4

==4.

答案4 6.(2017·天津一中模拟)在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若sin

A=2cos ,bcos C=3ccos B,则= .

2

解析由sin A=2cos ,得2sin cos =2

2

cos ,即tan

2

,所以A=.由bcos

C=3ccos B,得b·=3c·,整理,得a=2b-2c.又a=b+c-2bccos A=b+c+bc,

22222222

所以2b-2c=b+c+bc,所以

2222

-3=0,解得(舍去),所以.

答案

2

7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin B+sin C=msin A(m∈R),且a-4bc=0. (1)当a=2,m=时,求b,c的值;

(2)若角A为锐角,求m的取值范围.

2

解由题意并结合正弦定理,得b+c=ma,a-4bc=0. (1)当a=2,m=时,b+c=,bc=1.

解得

(2)∵cos A==2m2-3∈(0,1),∴

由b+c=ma,得m>0,故

8.导学号04994008设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A. (1)求B的大小;

(2)求cos A+sin C的取值范围.

解(1)∵a=2bsin A,根据正弦定理,得sin A=2sin Bsin A,∴sin B=.又△ABC为锐角三角形,

∴B=.

5

(2)∵B=,∴cos A+sin C=cos A+sin=cos A+sin=cos A+cos A+sin

A=sin

.由△ABC为锐角三角形,得A+B>,∴

,∴sin,∴cos A+sin C的取值范围为.

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