。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2讲 概率、随机变量及其分布列
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
1125A. B. C. D. 3236
解析：将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有62种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种，故概率为. 3
答案：C
2．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)的展开式中xy的系数为( ) A．－80 B．－40 C．40 D．80
解析：(x＋y)(2x－y)＝x(2x－y)＋y(2x－y). 因为x(2x－y)中xy的系数为－C5·2＝－40，
3
y(2x－y)5中x3y3的系数为C25·2＝80，
5
33
3
2
5
5
5
5
33
因此xy的系数为80－40＝40. 答案：C
3．(2017·贵阳质检)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向15
上的概率大于或等于，则n的最小值为( )
16
A．4 B．5 C．6 D．7
33
?1?15
解析：由题意，1－??≥，所以n≥4，所以n的最小值为4.
?2?16
答案：A
4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
1231A. B. C. D. 3344
解析：设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，
1
n2π3
×13V半球1
由几何概型，则P1＝＝＝. 2V圆柱π×1×2312
故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝.
33答案：B
5．(2017·浙江卷)已知随机变量ξi，满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，1
2.若0＜p1＜p2＜，则( )
2
A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) 解析：由题设可知E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2， 从而E(ξ1)＜E(ξ2)，
又D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)， 所以D(ξ1)－D(ξ2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)＜0. 故D(ξ1)＜D(ξ2)． 答案：A 二、填空题
6．(2016·全国卷Ⅰ改编)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．
解析：如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机地落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率
P＝10＋101
＝. 402
1答案： 2
7．(2017·长郡中学二模改编)设随机变量X服从正态分布N(4，σ)，若P(X＞m)＝0.3，则P(X＞8－m)＝________．
解析：因为随机变量X服从正态分布N(4，σ)， 所以正态曲线的对称轴是x＝4，
2
2
2
因为P(X＞m)＝0.3，且m与8－m关于x＝4对称， 由正态曲线的对称性，
所以P(X＞m)＝P(X＜8－m)＝0.3， 故P(X＞8－m)＝1－0.3＝0.7. 答案：0.7
8．(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．
解析：由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝11333?3?1－×＝，依题意X～B?2，?，则E(X)＝2×＝. 22442?4?
3答案： 2三、解答题
9．(2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(导学号 54850136)
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)． 解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， C85
则P(M)＝5＝.
C1018
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则 C61C6C45
P(X＝0)＝5＝，P(X＝1)＝5＝，
C1042C1021C6C410C6C45
P(X＝2)＝5＝，P(X＝3)＝5＝，
C1021C1021C6C41
P(X＝4)＝5＝. C1042因此X的分布列为
1432
23
5
41
4
X P X的数学期望
3
0 1 421 5 212 10 213 5 214 1 42E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
10．(2017·北京海淀区检测)某校高一(1)、(2)两个班联合开展“诗词大会进校园，国学经典润心田”古诗词竞赛主题班会活动．主持人从这两个班分别随机选出20名同学进行当场测试，他们的成绩按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，分别用频率分布直方图茎叶图统计如下(单位：分)：
(1)班20名同学成绩频率分布直方图
1425211021521142
(2)班20名同学成绩茎叶图
(1)分别计算两个班这20名同学的测试成绩在[80，90)的频率，并补全频率分布直方图； (2)分别从两个班随机选取1人，设这两人中成绩在[80，90)的人数为X，求X的分布列．(频率当作概率使用)
解：(1)高一(1)班这20名同学的测试成绩在[80，90)的频率为 1－(0.005＋0.015＋0.005＋0.02＋0.015)×10＝0.4.
4
高二(2)班这20名同学的测试成绩在[80，90)的频率为＝0.2.
20补全频率分布直方图如下：
(2)由题意可知，从高一(1)、(2)两个班各随机选取1人， 21
成绩在[80，90)的概率分别为，.
55
4
从两个班随机选取1人，这两人中成绩在[80，90)的人数X可能为0，1，2.
P(X＝0)＝?1－??1－?＝；
55
??
2??
??
1?12?25
P(X＝1)＝×?1－?＋?1－?×＝；
55P(X＝2)＝×＝，
则X的分布列如下表所示：
21
55
225
2?5?
1????
2?111?525
X P(X) 0 12 251 11 252 2 2511.(2017·新乡三模)为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果．期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
分数 甲班频数 乙班频数 [50，59) 5 1 [60，69) 6 3 [70，79) 4 6 [80，89) 4 5 [90，100] 1 5 (1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
成绩优良 成绩不优良 总计 2
甲班 乙班 总计 n（ad－bc）2附：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
临界值表：
P(K2≥k0) k0
(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在
5
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635
2024年高考数学二轮复习第二部分专题六概率与统计第2讲概率课时规范练理
