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【课题】 1.3 正弦定理与余弦定理（一）
【教学目标】
知识目标：
理解正弦定理与余弦定理． 能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学难点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学设计】
本课利用几何知识引入新知识降低了难度．教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用．安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法．例1是基础题，目的是让学生熟悉公式．例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例．由于余弦函数在区间(0,π)内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学 过 程 *揭示课题 1.3正弦定理与余弦定理． *创设情境 兴趣导入 我们知道，在直角三角形ABC（如图1?6）中,教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 播放 课件 质疑 了解 观看 课件 思考 学生自然的走向知识点 0 10 ab?sinA,?sinB，即 cc1word版本可编辑.欢迎下载支持.
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教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 ab?c，?c， sinAsinBB c A b 图1－6 详细分析讲解 总结 归纳 详细分析思考 理解 记忆 理解 记忆 带领 学生 总结 20 由于C?90?,所以sinC?1，于是 c?c. sinC所以 a C abc. ??sinAsinBsinC*动脑思考 探索新知 在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？ y C b ja 讲解 A c B x 图1－7 当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图1?7所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则BC?BA?AC， 两边取与单位向量j的数量积，得 BC??90??B，j?BA， 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 教 学 过 程 在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等. 即 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 abc (1.7) ??sinAsinBsinC利用正弦定理可以求解下列问题： （1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角. （2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边. *巩固知识 典型例题 例1 已知在?ABC中， B?30?，C?135?，c?6，求引领 讲解 说明 分析 这是已知三角形的两个角和一边，求其他边的问题，可以直接应用正弦定理． 解 由于 引领 讲解 说明 引领 讲解 6?12?32． 22观察 思考 主动 求解 观察 观察 思考 主动 求解 通过 例题 进一 步领 会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 35 b. bc， ?sinBsinC说明 所以 b?csinB6?sin30???sinCsin135?例2 已知在?ABC中，A?30?，a?152，b?30，求B． 分析 这是已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角． 解 由于 ab， ?sinAsinB30?1bsinA30?sin30?2?2． ??所以 sinB?a2152152由b?a，知B?A，故30??B?180?，所以B?45?或B?135?． 例3 已知在?ABC中，A?45?，a?30，b?152，求B． 解 sinB?bsinA152?sin45?1??． a302由于b?a，所以B?A，即0??B?45?，所以B?30?． 【注意】 3word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 教 学 过 程 已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误. *运用知识 强化练习 1．已知在?ABC中，A?45?，B?30?，b=3，求C和a. 2. 已知在?ABC中，A?21?，B?105?，c=4，求C和b （精确到0.01）． 3．已知在?ABC中，A?60?，a =12，b=8，求B（精确 到1?）． *动脑思考 探索新知 如图1－8所示，在△ABC中，BC?AC?AB，所以 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 45 总结 归纳 思考 理解 记忆 带领 学生 总结 50 ?b2?c2?2bccosA． 即 a2?b2?c2?2bccosA． B A 图1－8 同理可得b2?a2?c2?2accosB， c2?a2?b2?2abcosC． C 于是得到余弦定理： 三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍. 即 b?a?c?2accosB (1．8) 222显然，当C?90?时，有c?a?b．这就是说，勾股定理是余弦定理的特例． 公式（1.8）经变形后可以写成 4word版本可编辑.欢迎下载支持. 222文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 教 学 过 程 cosB?a?c22?b教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 22ac （1．9） 利用余弦定理可以求解下列问题： (1) 已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角. (2) 已知三角形的三边，求三个角. *巩固知识 典型例题 例4 在?ABC中，A?60?，b?8，c?3，求a． 分析 这是已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理． 解 a?b?c?2bccosA=8?3?2?8?3?cos60??49， 22222引领 讲解 说明 引领 观察 思考 主动 求解 观察 通过 例题 进一 步领 会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 65 所以a?7. 例5 在?ABC中，a?6，b?7，c?10，求?ABC中的最大角和最小角（精确到1?）. 分析 三角形中大边对大角，小边对小角． 解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.9）， 有 所以 C?100?， cosA?b?c22?a22bc=7?10?62?7?10222?0.8071， 所以 A?36?. *运用知识 强化练习 ?1．在△ABC中，B=150，a=33，c=2，求b. 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 70 2. 在△ABC中，三边之比a:b:c?3:5:7，求三角形最大内角. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 正弦定理、余弦定理的内容． 结论： 质疑 归纳强调 小组 讨论 回答 理解 强化 以小组讨论师生共同归75 5word版本可编辑.欢迎下载支持.
高教版中职数学拓展模块1.3正弦定理与余弦定理1
