条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点
主标题:条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点
副标题:从考点分析条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点,为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词:条件概率,独立事件,二项分布,正态分布,易错点 难度:3 重要程度:4 内容: 【易错点】
1.条件概率与相互独立事件的概率
(1)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).(√)
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B).(×)
(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2.二项分布与正态分布
(4)在正态分布函数φμ,σ(x)=μ是正态分布的期望中,
值,σ是正态分布的标准差.(√)
kn-k(5)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Ck,k=np(1-p)
0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布.(√)
1
(6)小王通过英语听力测试的概率是3,他连续测试3次,那么其中恰好第3次测1?3-14?1?1?1-???试获得通过的概率是P=C1··=9.(×) 333?????[剖析]
1.古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)=
P?AB?n?AB?
=,P?A?n?A?
其中,在实际应用中P(B|A)=
n?AB?
是一种重要的求条件概率的方法. n?A?
2.P(A·B)=P(A)·P(B)只有在事件A、B相互独立时,公式才成立,此时P(B)=P(B|A),如(1),(2).
3.判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点:
一是是否为n次独立重复试验.在每次试验中事件A发生的概率是否均为p. 二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.且P(X=k)=
kn-kCk表示在独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率. np(1-p)
对二项分布理解不准致误
【典例】 一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他1在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是3. (1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列; (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列.
1
解析 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为3,且每次试验结果是相互独立的, 1??6,故X~B?. 3???
?1?k?2?6-k
??,k=0,1,2,3,4,5,6. 所以X的分布列为P(X=k)=Ck6?3?·???3?
(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然Y是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算. ?2?1
P(Y=k)=?3?k·(k=0,1,2,3,4,5),
??3而{Y=6}表示一路没有遇上红灯. ?2?故其概率为P(Y=6)=?3?6,
??因此Y的分布列为:
Y P 0 13 1 29 2 427 3 881 4 16243 5 32729 6 64729 [易错警示] 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立,可以利用二项分布解决,二项分布模型的建立是易错点;另外,对“首次停车前经过的路口1
数Y”理解不当,将“没有遇上红灯的概率也当成3”.
kn-k
[注意] 独立重复试验中的概率公式Pn(k)=Ck表示的是n次独立重复np(1-p)
试验中事件A发生k次的概率,p与(1-p)的位置不能互换,否则该式子表示的意义就发生了改变,变为事件A有k次不发生的概率了.
导数在研究函数中的应用
主标题:导数在研究函数中的应用备考策略
副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。 关键词:导数,极值,最值,备考策略 难度:4 重要程度:5 内容
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f(x)=(x-1)ex-kx2. (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,求实数k的取值范围. 解 (1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2, ∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2). 令f′(x)>0,即x(ex-2)>0, ∴x>ln 2或x<0.
令f′(x)<0,即x(ex-2)<0,∴0 ∴当x≥0时,f′(x)=x(ex-2k)≥0恒成立. ∴ex-2k≥0,即2k≤ex恒成立. 1 由于e≥1,∴2k≤1,则k≤2. x 1 又当k=2时,f′(x)=x(ex-1)≥0当且仅当x=0时取等号. 1?? 因此,实数k的取值范围是?-∞,2?. ?? 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.而解答本题(2)问时,关键是分离参数k,把所求问题转化为求函数的最小值问题. (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. 考点二 利用导数研究函数的极值 13 【例2】 设f(x)=aln x+2x+2x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 审题路线 (1)由f′(1)=0?求a的值. (2)确定函数定义域?对f(x)求导,并求f′(x)=0?判断根左,右f′(x)的符号?确定极值. 13 解 (1)由f(x)=aln x+2x+2x+1, a13 ∴f′(x)=x-2x2+2. 由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴, ∴该切线斜率为0,即f′(1)=0. 13 从而a-2+2=0,∴a=-1. 13 (2)由(1)知,f(x)=-ln x+2x+2x+1(x>0), 113?3x+1??x-1? ∴f′(x)=-x-2x2+2=. 2x21 令f′(x)=0,解得x=1或-3(舍去). 当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,f(x)无极大值. 【备考策略】 (1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同. (2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值. 考点三 利用导数求函数的最值 【例3】已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. ?f′?2?=0, 审题路线 (1)??a,b的值; f?2?=c-16? (2)求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值. 解 (1)因f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b, 由于f(x)在点x=2处取得极值c-16, ?f′?2?=0,?12a+b=0, 故有?即? ?f?2?=c-16,?8a+2b+c=c-16.?12a+b=0,?a=1,?化简得解得? ?4a+b=-8,?b=-12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12. 令f′(x)=0,得x=-2或2. 当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -3 9+c (-3,-2) + -2 0 极大值 (-2,2) - 2 0 极小值 (2,3) + 3 -9+c 由表知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)
条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点 2019高考绝密资料
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