条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点
主标题：条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点
副标题：从考点分析条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：条件概率，独立事件，二项分布，正态分布，易错点 难度：3 重要程度：4 内容： 【易错点】
1．条件概率与相互独立事件的概率
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(×)
(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2．二项分布与正态分布
(4)在正态分布函数φμ，σ(x)＝μ是正态分布的期望中，
值，σ是正态分布的标准差．(√)
kn－k(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Ck，k＝np(1－p)
0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(√)
1
(6)小王通过英语听力测试的概率是3，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测1?3－14?1?1?1－???试获得通过的概率是P＝C1··＝9.(×) 333?????[剖析]
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝
P?AB?n?AB?
＝，P?A?n?A?
其中，在实际应用中P(B|A)＝
n?AB?
是一种重要的求条件概率的方法． n?A?
2．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A、B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)，如(1)，(2)．
3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p. 二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)＝
kn－kCk表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率. np(1－p)
对二项分布理解不准致误
【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他1在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3. (1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列； (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．
1
解析 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为3，且每次试验结果是相互独立的， 1??6，故X～B?. 3???
?1?k?2?6－k
??，k＝0,1,2,3,4,5,6. 所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck6?3?·???3?
(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． ?2?1
P(Y＝k)＝?3?k·(k＝0,1,2,3,4,5)，
??3而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯． ?2?故其概率为P(Y＝6)＝?3?6，
??因此Y的分布列为：
Y P 0 13 1 29 2 427 3 881 4 16243 5 32729 6 64729 [易错警示] 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口1
数Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成3”．
kn－k
[注意] 独立重复试验中的概率公式Pn(k)＝Ck表示的是n次独立重复np(1－p)
试验中事件A发生k次的概率，p与(1－p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了．
导数在研究函数中的应用
主标题：导数在研究函数中的应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4 重要程度：5 内容
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围． 解 (1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0， ∴x>ln 2或x<0.
令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0 ∴当x≥0时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0恒成立． ∴ex－2k≥0，即2k≤ex恒成立． 1 由于e≥1，∴2k≤1，则k≤2. x 1 又当k＝2时，f′(x)＝x(ex－1)≥0当且仅当x＝0时取等号． 1?? 因此，实数k的取值范围是?－∞，2?. ?? 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 考点二 利用导数研究函数的极值 13 【例2】 设f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值． 审题路线 (1)由f′(1)＝0?求a的值． (2)确定函数定义域?对f(x)求导，并求f′(x)＝0?判断根左，右f′(x)的符号?确定极值． 13 解 (1)由f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1， a13 ∴f′(x)＝x－2x2＋2. 由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴， ∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0. 13 从而a－2＋2＝0，∴a＝－1. 13 (2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋2x＋2x＋1(x>0)， 113?3x＋1??x－1? ∴f′(x)＝－x－2x2＋2＝. 2x21 令f′(x)＝0，解得x＝1或－3(舍去)． 当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值． 【备考策略】 (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 考点三 利用导数求函数的最值 【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． ?f′?2?＝0， 审题路线 (1)??a，b的值； f?2?＝c－16? (2)求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值． 解 (1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b， 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16， ?f′?2?＝0，?12a＋b＝0， 故有?即? ?f?2?＝c－16，?8a＋2b＋c＝c－16.?12a＋b＝0，?a＝1，?化简得解得? ?4a＋b＝－8，?b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12. 令f′(x)＝0，得x＝－2或2. 当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) －3 9＋c (－3，－2) ＋ －2 0 极大值 (－2,2) － 2 0 极小值 (2,3) ＋ 3 －9＋c 由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)
条件概率与独立事件、二项分布、正态分布易错点 2019高考绝密资料
