第一部分 专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题
A组
1．抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线方程为( B )
A．y＝6x C．y＝16x
22
2
B．y＝8x 152
D．y＝x
2
2
[解析] 依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝，
2所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，
23p解得x＝，y＝3p.
2
1p又△MFO的面积为43，所以××3p＝43，
22解得p＝4.所以抛物线方程为y＝8x.
2
ppx2y2x2y2
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交
abmn点，则|PF1|·|PF2|＝ ( D )
A．m－a 1
C．(m－a) 2
2
2
B．m－a D．m－a
[解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，故|PF1|·|PF2|＝m－a.
x2y2
3．(文)若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )
abA．
7 3
5B． 45D． 3
4C． 3
[解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心
x2y2
率即可．因为双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
abc5222
∴3b＝4a，∴9(c－a)＝16a，∴e＝＝，故选D．
a3
x2y2
(理)已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近
4b
1
线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )
A．－＝1
44C．－＝1
44
x23y2x2y2
B．－＝1
43D．－＝1
412
x24y2x2
y2
[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方
2
bb42b2222
程为x＋y＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x＋y＝4得xA＝，y＝，故四边形ABCDA2224＋b4＋b32b2
的面积为4xAyA＝2＝2b，解得b＝12，
4＋b故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．
412
3xy4．(2024·重庆一模)已知圆(x－1)＋y＝的一条切线y＝kx与双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)有两个
4ab2
2
2
2
x2y2
交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( D )
A．(1，3) C．(3，＋∞)
B．(1,2) D．(2，＋∞) |k|1＋k2
[解析] 由题意，圆心到直线的距离d＝
＝2
3
，所以k＝±3， 2
322
因为圆(x－1)＋y＝的一条切线y＝kx与双曲线C：
4
x2y2
－＝1(a>0，b>0)有两个交点， a2b2bb2
所以>3，所以1＋2>4，所以e>2.
aa5．(2024·济南一模)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的→→
一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝( B )
7
A． 25
C． 2
B．3 D．2
垂足为M，则
2
|PQ|3→→
[解析] 如图所示，因为FP＝4FQ，所以＝，过点Q作QM⊥l|PF|4
MQ∥x轴，
|MQ||PQ|3所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝
4|PF|46．(2024·泉州一模)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)→→
的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若AM＝MB，则p＝2.
2
2
3. 且斜率为
3[解析] 设直线AB：y＝3x－3，代入y＝2px得： 3x＋(－6－2p)x＋3＝0，
→→
又因为AM＝MB，即M为A，B的中点，
所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p＋4p－12＝0，
22解得p＝2，p＝－6(舍去)．
→→
7．已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为－
3
2
2
2
pp2
y2
2.
→→
[解析] 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x－x－5.令f(x)＝4x－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，→→
即PA1·PF2取最小值，最小值为－2.
8．已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，
94线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝12.
[解析] 取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|11
＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12. 22
9．(2024·郴州三模)已知抛物线E：y＝8x，圆M：(x－2)＋y＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△
2
2
2
2
2
x2y2
QAB面积的最小值．
[解析] (1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y＝8x上，所以4y＝16x， 所以曲线C的方程为y＝4x. (2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)． 令y＝0，可得x＝x0－， 圆心(2,0)到切线的距离d＝2
2
2
2
2
y0
k|2k＋y0－kx0|
＝2， 221＋k2
整理可得(x0－4x0)k＋(4y0－2x0y0)k＋y0－4＝0，
2x0y0－4y0y0－4
设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝2，k1k2＝2，
x0－4x0x0－4x01y0y0
所以△QAB面积S＝|(x0－)－(x0－)|y0
2k1k2＝2·
＝2
x0－1
2
x20x0－
2
＋x0－
x0－1
＋1
3
＝2[(x0－1)＋
1
＋2]． x0－1
设t＝x0－1∈[4，＋∞)，
1
则f(t)＝2(t＋＋2)在[4，＋∞)上单调递增，
t2525
所以f(t)≥，即△QAB面积的最小值为.
22
B组
x22
1．若a>1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( C )
aA．(2，＋∞) C．(1，2)
B．(2，2 ) D．(1,2)
a2＋1
[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝.
aa2＋11∴e＝2＝1＋2.
aa2
11
∵a>1，∴0<2<1，∴1<1＋2<2，∴1 aa故选C． x2y2 2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为Cab上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( A ) 1A． 32C． 3 1B． 23D． 4 [解析] 解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和 ama2 xymcmmcmmm－－a22c1 B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝. －c－aa3 解法二：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． b2 由PF⊥x轴得P(－c，)． a设E(0，m)， 4 |MF||AF| 又PF∥OE，得＝， |OE||AO|则|MF|＝ma－c.① a1|OE|2|BO| 又由OE∥MF，得＝， |MF||BF|则|MF|＝ma＋c.② 2a1 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c， 2 c1 所以e＝＝. a3 故选A． 3．(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( B ) A．2 C．6 B．4 D．8 42 [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A(，22)， p16pD(－，5)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得2＋8＝＋5，得p＝4.故选B． 2p4 p2 x22x22 (理)已知椭圆C1：2＋y＝1(m>1)与双曲线C2：2－y＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心 mn率，则( A ) A．m>n且e1e2>1 C．m 2 2 2 2 B．m>n且e1e2<1 D．m 2 2 2 m2－1n2＋1n2＋1n2＋1 [解析] 由于m－1＝c，n＋1＝c，则m－n＝2，故m>n，又(e1e2)＝2·2＝2·2＝mnn＋2nn4＋2n2＋11 >1，所以e1e2>1.故选A． 42＝1＋4 n＋2nn＋2n2 4．已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N， 2→→ 若MF·MN<0，则x0的取值范围是( A ) A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(－1,1) x2 12 [解析] 由题意知曲线C为抛物线，其方程为x＝2y，所以F(0，)．根据题意，可知N(x0,0)，x0≠0， 2→ MF＝(－x0，－y0)，MN＝(0，－y0)，所以MF·MN＝－y0(－y0)<0，即0 5 12 →→→ 1212
2024届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题练习
