3·2 简单的三角恒等变换
要点精讲 1. 几个三角恒等式 （1）积化和差公式
1sin?cos? ＝2[sin（? + ?） + sin（? ? ?）] 1cos?sin? ＝2[sin（? + ?） ? sin（? ? ?）] 1cos?cos? ＝2[cos（? + ?） + cos（? ? ?）] 1sin?sin? ＝ ?2[cos（? + ?） ? cos（? ? ?）]
（2）和差化积公式
sin??sin??2sin∴??????cos22 ??????sin22 ??????cos22 ??????sin22 sin??sin??2cos cos??cos??2coscos??cos???2sin2. 万能公式（补充） 2tansin???2,cos??1?tan21?tan2??2,tan??22tan?21?tan2?22sin1?tan2?2
???cos2tansin?22?2sin??????1sin2?cos21?tan2222 证：1?
??sin2cos?2cos????1sin2?cos22 2?
cos22sin?1?tan22??1?tan22?2?2
???cos2tansin?22?2tan??????cos?cos2?sin21?tan22223?
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
sin?cos??11?cos2?1?cos2?2sin2?；sin2??；cos??。 222（2）辅助角公式
asinx?bcosx?a2?b2?sin?x???，
其中sin??ba?b22，cos??aa?b22。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如??(???)??,2??(???)?(???)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用
代入法、消参法或分析法进行证明。
典型例题 asin1．已知正实数a,b满足
?55?tan8?，求b的值。
??15aacos?bsin55?bcos?分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于
bb的方程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有aaasin??bcos?的结构，可考虑引入辅助角求解。
b?8cossin?5a5?15? 解法一：由题设得
?b?8cos?sincos?5a515sin?8?8?sin?8??????sin??cos?cos??sinb?155???tan155155??3. ?8?8???a3?8cos??cos?sin??sincos????1551555??15解法二：因为asin??5?bcos???? ?a2?b2sin????，55??b????a2?b2cos????，其中tan??，55a?5?8????由题设得tan?????tan.515??
?8?所以???k???，即??k??，5153b????故?tan??tan?k????tan?3.a3?3?acos?bsin???btan?8解法三：原式可变形为：5a?tan?，
b?151?tana5?tan?b8???5令tan??，则有?tan?????tan?，?a15?5?1?tan??tan5?8?由此可???k????k?Z?,所以??k??，?k?Z?
5153???b?故tan??tan?k????tan?3，即?33?3a?tan点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式asin??bcos???a2?b2sin?????，
b??其中tan????，或asin??bcos?
a??a???a2?b2cos?????，其中tan????在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；
b??解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。
2．已知函数y＝
312
cosx＋sinxcosx＋1，x∈R.
22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 【解析】
y＝
312
cosx＋sinxcosx＋1
223112
＝（2cosx－1）＋＋（2sinxcosx）＋1
444＝
351cos2x＋sin2x＋
444＝
1??5（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋
66421?5sin（2x＋）＋
642＝
y取得最大值必须且只需2x＋
?6＝
?2＋2kπ，k∈Z，
即x＝
?6＋kπ，k∈Z。
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换： ①把函数y＝sinx的图象向左平移
?6＋kπ，k∈Z｝。
?6，得到函数y＝sin（x＋
?6）的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的
1倍（纵坐标不变），得到函数 2y＝sin（2x＋
?6）的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的
1倍（横坐标不变），得到函数 2y＝
?1sin（2x＋）的图象；
62?515个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象；
6424④把得到的图象向上平移
综上得到函数y＝
312
cosx＋sinxcosx＋1的图象。
22点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。
3．已知函数y＝
3sinx＋cosx，x∈R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 【解析】
（1）y＝3sinx＋cosx＝2（sinxcos
?6?＋cosxsin
6?）＝2sin（x＋
6），x∈R
人教高中数学A版必修4 简单的三角恒等变换 精讲精析
