3.3.2简单的线性规划 第1课时

编写时间：2024年 月 日 第二学期 总第 课时 编写人： 课 题 3.3.2简单的线性规划 第1课时 授课班级 高一() 授课时间 2024年 月 日 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义学习目标 以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力. 教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题. 教学难点 准确求得线性规划问题的最优解. 课 型 新 课 主要教学方法 教学手段与教具 自主学习、思考、交流、讨论、讲解 智慧黑板． 各环节教学反思 教学模式 合作探究，归纳总结 教 学 过 程 设 计 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示什么图形？ 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵. 2.讲授新课 题. 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问 1

?x?2y?8?4x?16???4y?12 ……………………………………………………………….（1） ?x?0???y?0（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排. （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？ z2z2把z=2x+3y变形为y??x?，这是斜率为?，在y轴上的截距为的3333直线.当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直z28线（y??x?），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.3332z可以看到，直线y??x?与不等式组（1）的区域的交点33z满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值.32z因此，问题可以转化为当直线y??x?与不等式组（1）33z确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距3最大. （5）获得结果： 2z由上图可以看出，当实现y??x?金国直线x=4与直线x+2y-8=0的33z14交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，33每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元. 2、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

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④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 1、变换条件，加深理解 探究：课本第88页的探究活动 （1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试. （2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？ 3.随堂练习 1．请同学们结合课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题. （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满?y?x,?足约束条件?x?y?1, ?y??1.?y321Ox-y=011B(,)22x12-2-1A(2,-1)C(-1,-1)-1x+y-1=02x+y=0解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x=0,y=0时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线l0:2x+y=0上. 作一组与直线l0平行的直线 l:2x+y=t,t∈R. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大. 所以zmax=2×2-1=3. （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，?5x?3y?15,?使式中的x、y满足约束条件?y?x?1, ?x?5y?3.?yx-y+1=09173x+5y=0(,)A88x-5y-3=01C-1Ox3-1B5x+3y-15=05解：不等式组所表示的平面区域如图所示： 从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，917以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所88对应的t最大. 所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11. 917zmax=3×+5×=14 884.课时小结

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用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 5. 作业 课本第93页习题[A]组的第2题.

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