专题函数常见题型归纳
本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。
考点一 分段函数求值问题
x??2，x>0，【例1】 已知函数f(x)＝? 若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
?x＋1，x≤0.?
【解析】 由已知，得f(1)＝2；又当x>0时，f(x)＝2x>1，而f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，且a<0，∴a＋1＝－2，解得a＝－3 ?lgx，x＞0，
【例2】设f(x)＝?x?10，x≤0，
?lgx，x>0，
【解析】 f(x)＝ ?x?10，x≤0，
?f(10)＝lg10＝－2.
－2
－2
则f(f(－2))＝________.
－2<0，?f(－2)＝10－2；10－2>0，
【解题技巧点睛】求f(g(x))类型的函数值时,应遵循先后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.
考点二 函数性质的基本应用
【例3】下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| 【答案】B
【解析】 A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x＋1是偶函数，但在(0，＋∞)上
2
?1?
是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝??|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数．故
?2?选B.
【例4】若函数f(x)＝
x2x＋1
x－a为奇函数，则a＝( )
页脚.
【解析】 法一：由已知得f(x)＝??1
于该函数定义域为?x?x≠－
2??
定义域关于原点对称，由
2x＋1x－a?1
且x≠a?，知a＝，故选A.
2?
x法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝则
2
x2x＋
2
1－2ax－a，
－x,因函数的定义域恒成立，可得
2x－x－a2x＋1－2ax－a1
?(1?2a)?1?2a,?1?2a?0,a＝.
2
1【例5】函数y?的图像与函数y?2sin?x（?2?x?4）的图像所有交点的
1?x＝
2
－x1－2a横坐标之和等于( )． A．2 B．4
C．6
D．8
【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域的图象.
考点三 基本函数的性质与图像
【例6】已知a?5log23.4,b?5log43.6?1?,c????5?log30.3,则( )．
页脚.
A．a?b?c B．b?a?c C．a?c?b D．c?a?b 【答案】C
【解析】根据对数函数的运算性质可知：a?5数函数
f(x)?5x为单调递增函数，因为log23.6?log24?1．log23.4?log22?1，
log23.4,b?5log23.6,c?5log3103,再由指
log3101010?log33?1，且log3?log2?log23.4，所以a?c?b． 333?a，a－b≤1，【例7】 对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝?
?b，a－b>1.
设函数f(x)
＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值围是( )
【解析】本题考查二次函数的性质和图像。 f(x)
＝
222
??x－2，x－2－(x－x)≤1，?2
?x－x2，x2－2－(x－x)>1?
＝
3
??x－2，－1≤x≤2，?3x－x，x<－1，或x>，?2?
2
2
则f(x)的图象如图：
∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点， ∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点， 3由图象知c≤－2，或－1 考点四 函数图像的应用 【例8】 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是( ) 页脚.
专题函数常见题型归纳(教师版)
