设设
，⑤式变为
，
所以函数在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|u=1=0，即，也就是此式与⑤矛盾
所以F（x）在（x0，F（x0））的切线不能平行于x轴
点评： 此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等
于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．
4．（2014?河西区三模）已知函数f（x）=≥0在R上恒成立． （1）求a，c，d的值； （2）若
，解不等式f′（x）+h（x）＜0；
+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，且f′（x）
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
考点： 导数的运算；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法． 专题： 计算题；压轴题．
分析： （1）待定系数法求函数解析式，由f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立列出三个方程，解出
a、b、c
（2）一元二次不等式解法，注意根之间比较，考查分类讨论思想
（3）考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对m进行讨论，看对称轴与区间的关系．
解答： 解：（1）∵f（0）=0，∴d=0
∴x+c及f'（1）=0，有 恒成立
是二次函数
∵f'（x）≥0在R上恒成立，即
显然a=0时，上式不能恒成立∴a≠0，函数f'（x）=a
由于对一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函数的性质可得
即，即，解得：a=，．
（2）∵．∴．
21
∴由f'（x）+h（x）＜0，即即当（3）∵∴
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1． 假设存在实数m使函数
区间[m．m+2]上有最小值﹣5．
＜0，即
时，解集为（，b），当b＜时，解集为（b，），当b=时，解集为?．
，∴f'（x）=
．
①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的． ∴g（m）=﹣5，即解得
．∵
，∴
舍去
．
②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+2，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，
而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，∴g（2m+1）=﹣5． 即解得
或m=﹣
，均应舍去
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上递减的∴g（m+2）=﹣5 即
．
解得或m=﹣1+2．其中m=﹣1﹣2应舍去．
综上可得，当m=﹣3或m=﹣1+2时，函数g（x）=f'（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．
点评： 本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、
二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题．
5．（2014?天津三模）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1x．（a∈R，e为自然对数的底数） （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
﹣
（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；压轴题．
分析： （Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0
求出x的范围即为函数的减区间；
（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值； （Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的
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值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣， 由f′（x）＞0，得x＞2； 由f′（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间故要使函数只要对任意的
上恒成立不可能，
上无零点，
，f（x）＞0恒成立，即对
恒成立．
令再令
，则
，
，
则，故m（x）在上为减函数，于是
，
从而，l（x）＞0，于是l（x）在故要使
上为增函数，所以
，
恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；
综上，若函数f（x）在
（Ⅲ）g′（x）=e1x﹣xe1x=（1﹣x）e1x，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
﹣
﹣
﹣
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e?e1e＞0， 所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
﹣
当a≠2时，f′（x）=当x=
时，f′（x）=0．
，即
①
，x∈（0，e]
由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故
此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x （0，） （，e]
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﹣ f′（x）
↘
+
0
↗
f（x） 最小值
又因为，当x→0时，f（x）→+∞，
，
所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：
即
令h（a）=则h
故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增； 当
所以，对任意即②对任意由③式解得：综合①④可知，当
．④
时，对任意给定的x0∈（0，e]，
时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．
，有h（a）≤h（0）=0， 恒成立．
，
，令h′（a）=0，得a=0或a=2，
在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使f（xi）=g（x0）成立．
点评： 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌
握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题．
6．（2014?孝感二模）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 压轴题．
分析： 利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间
（或减区间），
对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况； （2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）
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的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m
的范围．
（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．
解答：
解：（Ⅰ）
（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a=0时，f（x）不是单调函数（4分） （Ⅱ）∴
得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2 ∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增， ∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分） ∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1， ∴∴
点评： 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几
何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．
7．（2014?凉州区二模）已知函数f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1． （1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围； （3）证明：1n（n+1）＜1+
…+（n∈N+）．
考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想． 分析： （1）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；
（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母
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（完整word版）高中数学导数压轴题专题训练
