在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（
）≤
]上不满足性质P，
，
∴，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1， 故③成立；
在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]， 有≤≤
=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]， ∴
[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]， =
故④成立． 故选D．
点评： 本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，
要证明对所有的情况都成立．
18．（2013?文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（ ） A． B． C． D． ln3﹣1
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），求出导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于
0求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值．
解答： 解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离．
设F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣lnx， 求导得：F'（x）=
．
令F′（x）＞0得x＞；令F′（x）＜0得0＜x＜，
所以当x=故选A
时，F（x）有最小值为F（）=+ln3=（1+ln3），
11
点评： 求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值． 19．（2011?枣庄二模）设f′（x）是函数f（x）的导函数，有下列命题： ①存在函数f（x），使函数y=f（x）﹣f′（x）为偶函数；
②存在函数f（x）f′（x）≠0，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同；
③存在函数f（x）f′（x）≠0使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称． 其中真命题的个数为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 导数的运算；函数奇偶性的判断． 专题： 计算题；压轴题．
﹣
分析： 对于三个命题分别寻找满足条件的函数，三个函数分别是f（x）=0，f（x）=ex，f（x）=ex，从而得到结
论．
解答： 解：存在函数f（x）=0，使函数y=f（x）﹣f′（x）=0为偶函数，故①正确
存在函数f（x）=ex，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同，故②正确
存在函数f（x）=ex使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称，故③正确． 故选D．
点评： 本题主要考查了函数的奇偶性以及函数图象的对称性，解题的关键就是寻找满足条件的函数，属于基础题． 20．（2011?武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所
﹣
示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C． （﹣1，10）
D． （﹣∞，﹣1）
考点： 函数的单调性与导数的关系；斜率的计算公式． 专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： 先由导函数f′（x）是过原点的二次函数入手，再结合f（x）是定义域为R的奇函数求出f（x）；然后根据
a、b的约束条件画出可行域，最后利用
解答：
的几何意义解决问题．
+n．
解：由f（x）的导函数f′（x）的图象，设f′（x）=mx2，则f（x）=∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即n=0． 又f（﹣4）=m×（﹣64）=﹣1，∴f（x）=且f（a+2b）=
＜1，∴
x3=
．
＜1，即a+2b＜4．
又a＞0，b＞0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示．
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而
可视为可行域内的点（b，a）与点M（﹣2，﹣2）连线的斜率．
＜3．
又因为kAM=3，kBM=，所以＜故选B．
点评：
数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到y）与点（a，b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．
的代数式要考虑点（x，
21．（2011?雅安三模）下列命题中：①函数，f（x）=sinx+
（x∈（0，π））的最小值是2
+
；②在△ABC中，＞
；④如
若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则
果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是
（ ）
①④ ②③④ ②③ A． ① ②③④ B． C． D．
考点： 函数在某点取得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 常规题型；压轴题．
分析： 根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0
或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则三角形形状可判断出．构造函数y=，根据函数的单调
性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．
解答：
解：①f（x）=sinx+
≥2
，当sinx=
时取等号，而sinx的最大值是1，故不正确；
②∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0 ∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=
或A=B
∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确； ③可构造函数y=
，该函数在（0．+∞）上单调递增，a+b＞c则
+
＞
，故正确；
④∵f（x）是定义在R上的可导函数，
当f′（x0）=0时，x0可能f（x）极值点，也可能不是f（x）极值点， 当x0为f（x）极值点时，f′（x0）=0一定成立，
故f′（x0）=0是x0为f（x）极值点的必要不充分条件，故④正确； 故选C．
点评： 考查学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考查了极值的有关问题，属于综合题．
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22．（2011?万州区一模）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（ ） A． ﹣ 37 B． ﹣29 C． ﹣5 D． 以上都不对
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 常规题型；压轴题．
分析： 先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出
m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．
解答： 解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），
∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数， ∴当x=0时，f（x）=m最大，
∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5． ∴最小值为﹣37． 故选：A
点评： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在
（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．
23．（2010?河东区一模）已知定义在R上的函数（fx）是奇函数，且（f2）=0，当x＞0时有，
则不等式x2?f（x）＞0的解集是（ ） A． （ ﹣2，0）∪（2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（0，2）C． （﹣2，0）∪（0，2） D． （﹣2，2）∪（2，+∞）
考点： 函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析：
首先根据商函数求导法则，把 化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，
可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；
最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．
解答：
解：因为当x＞0时，有
恒成立，即[
]′＜0恒成立，
所以 在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0． 又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0． 又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集． 所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选B．
点评： 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．
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24．（2010?惠州模拟）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在
上不是凸函数的是（ ）
﹣
A． f （x）=sinx+cosx B． f（x）=lnx﹣2x C． D． f（x）=﹣x3+2x﹣1 f（x）=﹣xex
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 压轴题．
分析： 对ABCD分别求二次导数，逐一排除可得答案． 解答：
解：对于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx﹣sinx，f″（x）=﹣sinx﹣cosx，当x∈时，f″（x）＜0，
故为凸函数，排除A； 对于f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=排除B；
对于f（x）=﹣x3+2x﹣1，f′（x）=﹣3x2+2，f″（x）=﹣6x，当x∈
时，f″（x）＜0，故为凸函
，f″（x）=﹣
，当x∈
时，f″（x）＜0，故为凸函数，
数，排除C； 故选D．
点评： 本题主要考查函数的求导公式．属基础题． 25．（2010?黄冈模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（ ） A． f （2）＞e2f（0）B． ，f（2010）＞e2010f（0） f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0） C． D．f （2）＜e2f（0）f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0） ，f（2010）＜e2010f（0）
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 压轴题． 分析：
先转化为函数y=的导数形式，再判断增减性，从而得到答案．
解答：
解：∵f（x）＜f'（x） 从而 f'（x）﹣f（x）＞0 从而
＞0
从而＞0 从而函数y=单调递增，故 x=2时函数的值大于x=0时函数的值，
即
所以f（2）＞e2f（0）．
同理f（2010）＞e2010f（0）； 故选A．
点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导
函数小于0时原函数单调递减．
26．（2010?龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，f（x）g（x）=ax，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（ ）
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（完整word版）高中数学导数压轴题专题训练
