高中数学导数尖子生辅导（填选压轴）
一．选择题（共30小题）
1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题： 计算题；压轴题；数形结合． 分析： 先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求
出x1+x2=，，即可求得结论．
解答： 解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，
∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2
∵x1，x2是原函数的极值点
所以有x1+x2=，
故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=
， =
．
故选 D．
点评： 本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础
题．
2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ） A． α ＞β＞γ B． β＞α＞γ C． γ＞α＞β D． β＞γ＞α
考点： 导数的运算． 专题： 压轴题；新定义． 分析： 分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别
为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=
解答：
解：∵g′（x）=1，h′（x）=由题意得： α=1，ln（β+1）=①∵ln（β+1）=
，γ3﹣1=3γ2， ，
，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．
，φ′（x）=3x2，
∴（β+1）β+1=e，
当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2，
∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1；
②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，
1
∴3γ2＞0 ∴γ3＞1， ∴γ＞1． ∴γ＞α＞β． 故选C．
点评： 函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是
一个难点．
3．（2013?山东）抛物线C1：
的焦点与双曲线C2：
的右焦点的连线交C1于第一象
限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ） A． B． C．
D．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质． 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数
在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到
交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
解答：
解：由
，得x2=2py（p＞0），
）． ，
．
所以抛物线的焦点坐标为F（由
，得
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为
，
即①．
设该直线交抛物线于M（
），则C1在点M处的切线的斜率为，代入M点得M（
）
．
由题意可知，得
把M点代入①得：．
解得p=．
故选D．
点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的
切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
4．（2013?安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2
+2af（x）+b=0的不同实根个数为（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
2
考点： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断． 专题： 压轴题；导数的综合应用．
分析： 由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有
△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．
解答： 解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得
=．
∵x1＜x2，∴
，．
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2． 不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．
②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根． 故选A．
点评： 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结
合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
5．（2013?湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（ ） A． B． C． D．
考点： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件． 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： 先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有
两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
解答：
解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点 ?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
3
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去． ②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=∵x单调递减． ∴x=
是函数g（x）的极大值点，则
．
＞0，即
＞0，
，
时，g′（x）＜0，函数g（x）
，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即∵
，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．
＜0，
且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞
故选D．
点评： 熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．
6．（2013?辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=
，f（2）=
=﹣．（
）．
，则x＞0时，f（x）（ ）
A． 有 极大值，无极小值 B． 有极小值，无极大值 C． 既有极大值又有极小值 D．既 无极大值也无极小值
考点： 函数在某点取得极值的条件；导数的运算． 专题： 压轴题；导数的综合应用．
分析： 先利用导数的运算法则，确定f（x）的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论． 解答：
解：∵函数f（x）满足，
∴
∴x＞0时，
dx
∴
∴
令g（x）=，则
令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增
∴g（x）在x=2时取得最小值
4
∵f（2）=
，∴g（2）=
=0
∴g（x）≥g（2）=0
∴≥0
即x＞0时，f（x）单调递增 ∴f（x）既无极大值也无极小值 故选D．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
7．（2013?安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断． 专题： 综合题；压轴题；导数的综合应用． 分析： 求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）
+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
解答： 解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，
由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1）， 如下示意图象： 如图有三个交点， 故选A．
点评： 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．
8．（2014?海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有
恒
成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（ ） A． （ ﹣2，0）∪（2，+∞） B． （﹣2，0）∪（0，2） C． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D． （﹣∞，﹣2）∪（0，2）
考点： 函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法． 专题： 综合题；压轴题． 分析：
首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可
判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最
后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．
5
（完整word版）高中数学导数压轴题专题训练
