12.4 综合与实践 一次函数模型的应用
知识要点基础练
知识点1 构建一次函数模型求表达式
1.某商店售货时,其数量x(kg)与售价y(元)的关系如表所示:
数量x(kg) 1 2 3 … 售价y(元) 8+0.4 16+0.4 24+0.4 … 则y与x的函数表达式是 (B) A.y=8x B.y=8x+0.4 C.y=8.4x D.y=8+0.4x
【变式拓展】下列数据是弹簧挂重物后的长度记录,测出弹簧长度y(cm)与重物质量x(kg)之间的函数表达式为 y=0.5x+12 ,挂重30千克时,弹簧长度为 27 cm .
重物质量0 1 /kg 弹簧长度12 12.5 13 13.5 14 … … /cm 2 3 4 … 30 … 2.某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一条长为6千米的公路,如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(30≤x≤120,单位:天)之间具有一次函数的关系,部分对应值如下表所示.
x 50 60 90 120 y 40 38 32 26 则y关于x的函数表达式为 y=-x+50(30≤x≤120) .
知识点2 建立一次函数模型解决预测类型的实际问题
3.一蓄水池有水40 m3,如果每分钟放出2 m3的水,水池里的水量y(m3)与放水时间t(分)有如下关系:
放水时间t(分) 水池中水量y(m3) 1 2 3 4 … 1538 36 34 32 … 下列结论中正确的是 A.y随t的增加而增大
B.放水时间为20分钟时,水池中水量为8 m3 C.y与t之间的表达式为y=40-t
(D)
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D.放水时间为18分钟时,水池中水量为4 m3 4.某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克,这两种水果的进价、售价如表所示,该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,当购进甲种水果 35 千克时利润最大.
甲种 乙种 进价(元/千售价(元/千克) 5 9 克) 8 13 5.(柳州中考)下表是世界人口增长趋势数据表: 年份x 1960 1974 1987 2024 2024 人口数量y(亿) 30 40 50 60 69 (1)请你认真研究上面数据表,求出从1960年到2024年世界人口平均每年增长多少亿人; (2)利用(1)中所得到的结论,以1960年30亿人口为基础,设计一个最能反映人口数量y关于年份x的函数表达式,并求出这个函数的表达式;
(3)利用(2)中所得的函数表达式,预测2024年世界人口将达到多少亿人.
解:(1)从1960年到2024年世界人口平均每年增长(69-30)÷(2024-1960)=39÷50=0.78(亿). (2)根据题意,得y=30+0.78(x-1960), 即y=0.78x-1498.8.
(3)当x=2024时,y=0.78×2024-1498.8=76.8,∴2024年世界人口将达到76.8亿人.
综合能力提升练
6.如图是本地区一种产品30天的销售图象,产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位:天)的大致函数关系如图①,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系.已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是 (C) A.日销售量为150件的是第12天与第30天 B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.从第20天到第30天这段时间内日销售利润将保持不变 D.第18天的日销售利润是1225元
7.一次越野跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1400米,小明、小刚在此后所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图,则这次越野跑的全程为 2200 米.
8.某公司生产的一种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来20天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天) 1 3 6 10 16 … 日销售量m(件) 94 90 84 76 64 … (1)确定满足这些数据的m(件)与t(天)之间的函数表达式. (2)预测第20天的日销售量是多少?
解:(1)设m(件)与t(天)之间的函数表达式为m=kt+b,
??=1,??=3,94=??+??,??=-2,将{和{代入一次函数m=kt+b中,有{解得{ ??=94,??=9090=3??+??.??=96.
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故所求函数表达式为m=-2t+96.
(2)将t=20代入(1)中所求的函数表达式,得m=56. 所以第20天的日销售量是56件.
9.今年“五一”期间,小明准备攀登海拔高度为2024米的山峰.导游介绍山区气温会随着海拔高度的增加而下降,提醒大家上山要多带一件衣服,小明从网上查到该山区海拔和即时气温的部分数据表,数据如下:
海拔高度x(米) 气温y(℃) 400 500 600 700 800 … 29.2 28.6 28.0 27.4 26.8 … (1)以海拔高度为x轴,根据上表提供的数据在如图的平面直角坐标系中描点并连线.
(2)观察(1)中所画出的图象,猜想y与x之间的函数关系,求出所猜想的函数关系表达式,并根据表中提供的数据验证你的猜想.
(3)如果气温低于20 ℃就需要穿外套,请问小明需不需要携带外套上山? 解:(1)图略.
(2)由所画图可猜测y是x的一次函数,设y=kx+b, 400??+??=29.2,
把(400,29.2),(500,28.6)代入,得{
500??+??=28.6,??=-0.006,解得{∴y=-0.006x+31.6.
??=31.6,
经检验(600,28.0),(700,27.4),(800,26.8)均满足上式, ∴y与x的函数表达式为y=-0.006x+31.6.
(3)当x=2024时,y=-0.006×2024+31.6=19.6<20, ∴需要携带外套上山.
拓展探究突破练
10.在北方冬季,对某校一间坐满学生、门窗关闭的教室中二氧化碳的总量进行检测,部分数据如下:
教室连续使用时间x(分) 二氧化碳总量y(m3) 5 10 15 20 0.6 1.1 1.6 2.1 经研究发现,该教室空气中二氧化碳总量y(m3)是教室连续使用时间x(分)的一次函数. (1)求y与x的函数表达式.(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)根据有关资料推算,当该教室空气中二氧化碳总量达到6.7 m3时,学生将会稍感不适,请通过计算说明,该教室连续使用多长时间学生将会开始稍感不适?
(3)如果该教室在连续使用45分钟时开门通风,在学生全部离开教室的情况下,5分钟可将教室空气中二氧化碳的总量减少到0.1 m3,求开门通风时教室空气中二氧化碳平均每分钟减少多少m3?
解:(1)设y=kx+b, 5??+??=0.6,
由已知,得{
10??+??=1.1,??=0.1,解得{
??=0.1,
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∴y=0.1x+0.1.
(2)当y=6.7时,x=66.
答:该教室连续使用66分钟学生将会开始稍感不适. (3)∵当x=45时,y=4.6,
∴4.6-0.1
=0.9 m3. 5
答:开门通风时教室空气中二氧化碳的总量平均每分钟减少0.9 m3.
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12.4 综合与实践 一次函数模型的应用
