几种常见数列求和方法的归纳
1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。 （1）等差数列的求和公式：Sn?殊方法：倒序相加）
n(a1?an)n(n?1)?na1?d （等差数列推导用到特22?na1(q?1)?n（2）等比数列的求和公式Sn??a1(1?q)（切记：公比含字母时一定要讨论）
(q?1)??1?qnn(n?1)(2n?1)（3）?k2?12?22?32??n2?
6k?1（不作要求，但要了解）
例：（1）求=2+4+6+…+2n
（2）求=x+++…+(x)
2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例：（1）求证：等差数列{
}的前n项和Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?sin89 （2）sin1?sin2?sin3? .
3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 例：（1）求和：(1)Sn?1?11?111???11?1 ???n个2222
10n?1?9n?10
81
（2）Sn?(x?1211)?(x2?2)2???(xn?n)2xxx
(x2n?1)(x2n?2?1)当x??1时，Sn??2n 2n2x(x?1)当x??1时,Sn?4n
1
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）
1111111???(?)常见的拆项公式：
n(n?1)nn?1，(2n?1)(2n?1)22n?12n?1， 1111?(?)，
n(n?2)2nn?2(2n)21?1?，
(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)112n?1?2n?3??22n?12n?3
例：（1）求和：
111,,,1?32?43?5,1,n(n?2)
2242(2n)2???? （2）求和Sn?1?33?5(2n?1)(2n?1) .
Sn?2n(n?1)
2n?1
5．错位相减法：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和.(适用于：等差数列乘
以等比数列的通项求和)例：求和：a,2a,3a,23,nan,
当a?1时，Sn?1?2?3?…?n?n(n?1)， 2nan?2?(n?1)an?1?a当a?1时，Sn? 2(1?a)
2
6．合并求和法：如求1002?992?982?972???22?12的和。 5050
n2＋n
练：已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
2
(1)求数列{an}的通项公式； an＝n.
n(2)设bn?2n?(?1)an，求数列{bn}的前2n项和． T2n＝22n1＋n－2
＋
a
7．分类讨论求和
（1）分奇偶项：奇数项是一个数列，偶数项又是一数列。（分组求和法的变通）。
?6n?5(n为奇数)例：已知数列{an}的通项an??n，求其前n项和Sn．
2(n为偶数)??3n2?n?24(2n?1?1)?(n为奇数)??23Sn??n?n(3n?5)?4(2?1)(n为偶数)?23?
3
（2）分正负：数列中一些项为正，一些项为负。
例：已知公差为d的等差数列{an}，已知a1?10，且a1，2a2?2，5a3成等比数列，（1）求d，an，（2）若d?0，求a1?a2?a3??an。
d?4,an?4n?6或d??1,an??n?11
? S?(21?n)n?2n???(n?10)(n?11)??24
n?11
n?11
几种常见数列求和方法的归纳
