高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数概念学案（含解析）
新人教A版必修1
课标要点
课标要点 1.函数的概念 2.函数的定义域 3.函数的值 4.区间 学考要求 b b b a 高考要求 b b b a 知识导图
学法指导
1.结合实例加深对函数概念的理解，要抓住定义中的关键字、词，认清“函数”到底指的是什么，由哪些要素组成．
2．本节的重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解函数y＝f(x)的含义，求函数的值域.
知识点一 函数的概念 1．函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)．
2．函数的定义域与值域
函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．,
对函数概念的3点说明
(1)当A ，B为非空实数集时，符号“f ：A→B”表示A到B的一个函数． (2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f ”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
知识点二 函数相等
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两个函数相等． 知识点三 区间的概念 1．区间的几何表示
定义 {x|a≤x≤b} {x|a 3．无穷大的几何表示 定义 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x (2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号． 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 数轴表示 [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( ) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．函数f(x)＝x－1 的定义域为( ) x－2 A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞) 解析：使函数f(x)＝ ??x－1≥0，则? ?x－2≠0，? x－1 有意义， x－2 即x≥1，且x≠2. 所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D. 答案：D 3．下列各组函数表示同一函数的是( ) x2－9A．y＝与y＝x＋3 x－3 B．y＝x－1与y＝x－1 C．y＝x(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z 解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同． 答案：C 4．用区间表示下列集合： ???1 (1)?x?－≤x<5??2? 02 ?? ?＝________； ?? (2){x|x<1或2 1 解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝ 21 [－，5)． 2 (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2 ?1?答案：(1)?－，5? (2)(－∞，1)∪(2,3] ?2? 类型一 函数的定义 例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数： (1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； (2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示； (3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； (4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1. 【解析】 对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数． (2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数． (3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数. 1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集． 2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析． 方法归纳 (1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应． [注意] A中元素无剩余，B中元素允许有剩余． (2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”． 跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 (2)下列对应是否是函数？ 32 ①x→，x≠0，x∈R；②x→y，其中y＝x，x∈R，y∈R. x解析：(1) 图号 ① ② ③ ④ 正误 × √ × × 原因 x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性 同时满足任意性与唯一性 x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性 x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性 x3(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义． ②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念． 答案：(1)B (2)①是函数②不是函数 ①x∈[0,1]取不到[1,2]． ③y∈[0,3]超出了N∈[0,2]范围． ④任取一个x值，y有2个对应，不符合题意． 关键是否符合函数定义． 类型二 求函数的定义域 例2 (1)函数f(x)＝ x＋1 的定义域是( ) x－1 A．[－1,1) B．[－1,1)∪(1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(1，＋∞) (2)求下列函数的定义域． 1x－1 ①y＝x＋2＋2；②y＝. x－x－6|x|＋x??x＋1≥0， 【解析】 (1)由? ?x－1≠0，? 0 解得x≥－1，且x≠1.
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