课时作业(十一)
1
1．在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是( )
xA．－10 C．－5 答案 B
1－－
解析 展开式的通项为Tr＋1＝C5r(x2)5r·(－)r＝(－1)r·C5r·x103r，
x令10－3r＝4，∴r＝2，则x4的系数是(－1)2·C52＝10.故选B. 2．(2x3－
110
)的展开式中的常数项是( ) 2x2
105B. 2D．－105 B．10 D．5
A．210 1C. 4答案 B
1
3．(2014·湖南)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
2A．－20 C．5 答案 A
解析 根据二项展开式的通项公式求解．
11－1－－
(x－2y)5展开式的通项公式为Tr＋1＝C5r(x)5r·(－2y)r＝C5r·()5r·(－2)r·x5r·yr. 2221
当r＝3时，C53()2·(－2)3＝－20.
2
574．二项式(2＋7)24展开式中的整数项是( ) A．第15项 C．第13项 答案 A
24－rr5757－
解析 (2＋7)24展开式的通项为C24r(2)24r·(7)r.要使其为整数，应使与都是整5724－rr
数，观察易知r＝14时＝2，＝2皆为整数，因此所求为第r＋1项，即第15项．
575．把(3i－x)10(i是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( ) A．135 C．－3603i
B．－135 D．3603i B．第14项 D．第12项 B．－5 D．20
答案 D
解析 ∵T7＋1＝C107(3i)3(－x)7＝－C10733i3x7＝C10733ix7，所以展开式的第8项的系数为33·C107i，即3603i.
6．在(x＋1)(2x＋1)·…·(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为( ) A．Cn2 C．Cnn1 答案 B
n·（n＋1）解析 1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋12.
2
a1
2x＋?的展开式中3的系数是84，则实数a＝( ) 7．(2014·湖北)若二项式?x??xA．2 C．1 答案 C
解析 Tk＋1＝C7k(2x)
－－
B．Cn＋12 1
D.Cn＋13 2
7
5B.4 D.2 4
7－k
?a?＝C7k27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5，即T5＋1＝C7522a5x－3?x?
k
＝84x3，解得a＝1，选C项．
2
8．(2013·江西)(x2－3)5展开式中的常数项为( )
xA．80 C．40 答案 C
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝C5r(x2)5r·(－1)r2rx
－
－3r
B．－80 D．－40
＝C5r·(－1)r·2r·x10
－5r
.令10－5r
＝0，解得r＝2，所以常数项为T3＝C52·22＝40，选C项．
9．(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________． 答案 －240
解析 (x－y)10展开式的通项为 Tr＋1＝C10rx10r(－y)r＝(－1)rC10rx10ryr， ∴x7y3的系数为－C103，x3y7的系数为－C107. ∴所求的系数和为－(C107＋C103)＝－2C103＝－240.
10．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3的值为________． 答案 x4 解析 原式为
(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1
－
－
＝[(x－1)＋1]4＝x4.
11．(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中，x2的系数等于________． 答案 －20
解析 方法一 所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的x2的系数就应该是这五个二项式的展开式中x2的系数的代数和，即－C20－C31－C42－C53＝－20.
（x－1）[1－（1－x）5]
方法二 也可以利用等比数列求和公式，将原式化为＝
1＋（x－1）（x－1）＋（x－1）6
.可以看出，所求的x2的系数就是(x－1)6中x3的系数，即为－C63＝－
x20.
13
12．(2＋)50的二项展开式中，整数项共有________项．
2答案 4
解析 Tk＋1＝C50k(2)
350－k
1
·()k＝C50k·2
2
100－5k
6.
由0≤k≤50，且k∈N可知，当k＝2，8，14，20时， 100－5k
取整数，即展开式中有4项是整数项． 6
13．在二项式(2x＋3)80的展开式中，系数为有理数的项共有多少项？ 解析 设系数为有理数的项为第k＋1项， 即C80
k(－
2x)80k(
3)k＝240－
kk－
×32C80kx80k， 2
因为系数为有理数，所以k应能被2整除． 又因为k＝0，1，2，…，80，
所以当k＝0，2，4，6，…，80时，满足条件，所以共有41项． 1
14．求(x＋－1)5展开式中的常数项．
x
111111
解析 方法一 (x＋－1)5＝(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)．
xxxxxx
按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5；若从五个因式中选定1
一因式取x，一因式取，另三个因式中取(－1)，为C51C41(－1)3；若从五个因式某两因式中
x1
取x，另两因式中取，余下一个因式中取－1，所得式为C52C32(－1)，所以常数项为
x(－1)5＋C51C41(－1)3＋C52C32(－1)＝－51.
方法二 由于本题只有5次方，也可以直接展开，即
111111
[(x＋)－1]5＝(x＋)5－5(x＋)4＋10(x＋)3－10(x＋)2＋5(x＋)－1.
xxxxxx
11
由x＋的对称性知，只有在x＋的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间
xx项，
∴常数项为－5C42－10C21－1＝－51. 11
方法三 ∵(x＋－1)5＝[(x＋)－1]5，
xx1－
∴通项为Tr＋1＝C5r(x＋)5r·(－1)r(0≤r≤5)．
x当r＝5时，T6＝C55(－1)5＝－1； 1－
当0≤r<5时，(x＋)5r的通项为
xT′k＋1＝C5－rkx5＝C5－rkx5
－r－2k
－r－k
1·()k x
(0≤k≤5－r)．
∵0≤r<5，且r∈Z，
∴r只能取1或3相应的k值分别为2或1. ∴常数项为C51C42(－1)＋C53C21(－1)3＋(－1)＝－51. 15．(2015·衡水高二检测)在(2x2－13x
)8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)x2的系数．
解析 (1)T5＝T4＋1＝C84(2x2)84(－
20
－
13x)4
＝C8
4·24·x3.
所以第5项的二项式系数是C84＝70，第5项的系数是C84·24＝1 120. (2)(2x2－13x
7－
)k＝(－1)kC8k·28k·x16－k.
33x1
)8的通项是Tk＋1＝
C8k(2x2)8k(－－
7
根据题意得，16－k＝2，解得k＝6.
3因此，x2的系数是(－1)6C86·286＝112.
1n3
16．在二项式(x－)的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
32x(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项．
－
1k3－
解析 Tk＋1＝Cnk(x)nk(－)
32x112＝(－)kCnkxn－k，
233
由前三项系数的绝对值成等差数列， 11
得Cn0＋(－)2Cn2＝2×Cn1，
22解这个方程得n＝8或n＝1(舍去)．
13323(1)展开式的第四项为T4＝(－)C8x3＝－7x2.
282135(2)当－k＝0，即k＝4时，常数项为(－)4C84＝.
3328?重点班选做题
17．(1－x)4(1－x)3的展开式中x2的系数是( ) A．－6 C．0 答案 A
解析 由于(1－x)4的通项为Tr＋1＝C4r(－x)r＝(－1)rC4rxr，(1－x)3的通项为Tk＋1＝(－
k
B．－3 D．3
1)kC3kx2，所以乘积中的x2项的系数为(1－x)4中的x2项的系数和x的系数分别乘(1－x)3中
的常数项和x的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6.
a1
18．(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
xxA．－40 C．20 答案 D
a11
解析 对于(x＋)(2x－)5，可令x＝1得1＋a＝2，故a＝1.(2x－)5的展开式的通项Tr＋1＝
xxx111－－－
C5r(2x)5r(－)r＝C5r25r×(－1)r×x52r，要得到展开式的常数项，则x＋的x与(2x－)5展
xxx1111
开式的相乘，x＋的与(2x－)5展开式的x相乘，故令5－2r＝－1，得r＝3.令5－2r＝1，
xxxx得r＝2，从而可得常数项为C53×22×(－1)3＋C52×23×(－1)2＝40. 19．若(cosφ＋x)5的展开式中3答案 －
5
x3的系数为
π
2，则sin(2φ＋)＝________．
2B．－20 D．40
北师大版高中数学选修2-3精讲精练作业：作业11 二项式系数的性质
