2013年考研数学三试题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当x?0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
（A）x?o(x2)?o(x3) （B）o(x)o(x2)?o(x3) （C）o(x2)?o(x2)?o(x2) （D）o(x)?o(x2)?o(x2) 2．函数f(x)?x?1x(x?1)lnxx的可去间断点的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
３．设Dk是圆域D?(x,y)|x2?y2?1的第k象限的部分，记Ik?（ ）
（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 ４．设?an?为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A）若an?an?1，则
?????(y?x)dxdy，则
Dk?(?1)n?1?n?1an收敛；
（B）若
?(?1)n?1?n?1an收敛，则an?an?1；
（C）若
?an?1np收敛．则存在常数P?1，使limnan存在；
n??（D）若存在常数P?1，使limnan存在，则
n??p?an?1?n收敛．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
?1a1??200?????6．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是
?000??1a1?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数
7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32)，
Pi?P??2?Xi?2?，则
（A）P1?P2?P3 （B）P2?P1?P3 （C）P3?P2?P1 （D）P1?P3?P2
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为 X P
Y P 则P?X?Y?2??（ ） （A）
-1 1/3 0 1/3 1 1/3 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3P 1/8 1111 （B） （C） （D） 12862
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
29．设曲线y?f(x)和y?x?x在点?1,0?处有切线，则limnf?n???n??? ． n?2??10．设函数z?z?x,y?是由方程?z?y??xy确定，则
x?z|(1,2)? ． ?x11．
???1lnxdx? ．
(1?x)21y?0的通解为 ． 412．微分方程y???y??13．设A?aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足
??Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A= ．
14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则EXe2X? ．
??三、解答题
15．（本题满分10分）
n当x?0时，1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n．
16．（本题满分10分） 设D是由曲线y?3x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值． 17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，求 18．（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P?60?是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P． 19．（本题满分10分） 设函数f?x?在[0,??)上可导，f?0??0，且limf(x)?2，证明
x???2x??dxdy． DQ,（P1000（1）存在a?0，使得f?a??1;
（2）对（1）中的a，存在??(0,a)，使得f'(?)? 20．（本题满分11分）
1． a?1a??01?设A???10??,B???1b??，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求出
????所有矩阵C．
21．（本题满分11分） 设
二
次
型
f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2．记
?a1??b1????????a2?,???b2?．
?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为 2??T???T；
22（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1． ?y2 22．（本题满分11分）
?3x2,0?x?1设?X,Y?是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(x)??，在给定
?0,其他?3y2,0?y?x,?X?x(0?x?1)的条件下，Y的条件概率密度为fY(y/x)??x3．
X?0,其他?（1）求?X,Y?的联合概率密度f?x,y?； （2）Y的的边缘概率密度fY(y)． 23．（本题满分11分）
??2???3ex,x?0设总体X的概率密度为f(x;?)??x，其中?为为未知参数且大于零，
?0,其他?X1X2,?Xn为来自总体X的简单随机样本．
（1）求?的矩估计量； （2）求?的极大似然估计量．
2013答案详解
一、选择题 1、【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当x?0时f(x)?x2?x3?o(x),g(x)?x3?o(x2)，但f(x)?g(x)?o(x)而不是． o(x2)故应该选（D）
2、【详解】当xlnx?0时，x?1?exxlnx?1~xlnx，
limf(x)?limx?0x?0x?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxxxx?limx?0xlnxxlnxxlnx?1，所以x?0是函数f(x)的可去间断点．
1，所以x?1是函数f(x)的可去间断点． 2??，所以所以x??1不是函数f(x)的
limf(x)?limx?1x?1?limx?02xlnx?x??1limf(x)?limx??1?limxlnx?(x?1)lnxx??1可去间断点．
故应该选（C）． 3、【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
1?Ik???(y?x)dxdy??2?d??(sin??cos?)rdr??k2?1(sin??sin?)d?0(k?1)32?Dk2k12?k??1?sin??cos??|3k?2k?1?2
所以I1?I3?0,I2?22?,I4???，应该选（B）． 334、【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件liman?0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，
n??选项（B）也不正确，反例自己去构造．
5、【详解】把矩阵A，C列分块如下：A???1,?2,?,?n?,C???1,?2,?,?n?，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知?i?bi1?1?bi2?2???bin?n(i?1,2,?,n)，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即A?CB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．
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2013考研数学三（真题及答案分开显示版） - 详细解析word版
