第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(初二组)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A参考答案
（初二组）
一、填空（每题 10 分, 共80分）
题号 答案 1 2 2 770 3 766 4 10 5 6 1 7 326 8 3 25 2二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）
解答. 例如 4?4?4?4?7, 4?4?4?4?7,
4?4?4?4?7, 44?4?4?7, 4?4?4?4?7.
9. 答案：61
解答. 设成活a棵, 没有成活b棵, 未完成植树c棵. 则
?5a?2b?271???????(1) ?
3a?b?2c?130?271???(2)?由（1）可知, a是奇数, 且a?54; 由（2）可知, a?47. 下面对 a?47,49,51,53进行试算, 求得整数解:
a?47,b?18,c??9,(不合要求);
a?49,b?13,c??3.5,(不合要求);
a?51,b?8,c?2,
a?b?c?51?8?2?61; a?53,b?3,c?7.5,(不合要求). 可见, 植树任务数是61.
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(初二组)
10. 答案：
3 8解答. 作BC边上的高AD, AD也是?A的平分线. AD 交EF于P. 于是,
?EAP??BEH?30??APE??EHB?90?
13x,AP?x. 因此, 22设AE?x, 则EB?1?x,EP?S?AEF??EHB??FGC?1313x?x?(1?x)(1?x) 222232x?(1?x)24321 ?(x?x?)
223?121??(x?)???2?24????由此可见, 当x?
1
时, 上述三角形面积和最小, 从而内接矩形EFGH的面积最大. 此时, 2
AE:EB?1. 连结ED和FD, 容易知道,
111133?S□EFGH =S?ABC???BC?AD??1?.
22242811. 答案：1003
解答. 将2013个数分成如下1009组:
(2013,35), (2012,36), …, (1025,1023), (1024),
(34,30), (33,31), (32), (29,3), (28,4), …, (17,15), (16), (2), (1),
其中有1004组中每组都有两个数, 且这两个数之和是2的幂次, 若擦剩下的数的个数大于等于1010, 由抽屉原理知, 必然有一组中两个数都被剩下了, 那么这两数和为2的幂次, 所以擦去1003个数满足题目要求. 如果擦去1004个数, 即剩下1009个数, 我们取这1009组中每一组的较大数, 那么显然这些数的任意两个之和都不是2的幂次, 故不满足题意, 所以最多擦去1003个数．
三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(初二组)
12.
解答. 连接AK. 先证 AM=CK.
CK?ACK的面积?ACN的面积?? CD?ACD的面积?ABD的面积??ABN的面积?AMD的面积AM??.
?ABD的面积?ABD的面积AB因为CD=AB，所以AM=CK. 连接OM，OK，ON. 则 △OMA≌△OKC. 所以
?MOA??KOC. 因此
?MOA??AOK??KOC??AOK?180,
所以M，O，K共线，ON是 △KNM 的中线，所以
△ONM的面积=△OKN的面积.
但
△NMB的面积=△ONM的面积，△NKC的面积=△ONK的面积.
所以
△ONM的面积=△OKC的面积.
因此，三角形NMB与NKC等积. 13.
133417,,, 8888解答. 若x?0, 则
1??2?7?7??0?[x]??x????x??????x???8x2??0,
8??8?8?8??矛盾. 所以 x?0.
由带余除法,
[8x]?8q?r?8x?[8x]?1?8q?r?1,(0?r?7).
所以
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q?对于0?i?7,
rr?1. ?x?q?88q?r?iir?i?1. ?x??q?888i?r?i?x??q.当?1时,即 7?i?8?r, 有??8?8?当i?7?r时,即
r?i?1?1. 有8i??x??q?1. 所以 ??8??1?7?r??8?r?7????[x]??x?????x??x????x???8?8?8?8???????? ?(8?r)q?r(q?1)?8q?r?[8x].因此 [8x]?8x2?7. (*) 82因为 8[8x]?64x2?7?(8x)2?7??[8x]?{8x}??7,
[8x]2?7?8[8x]??[8x]?1??7?[8x]2?2[8x]?8,
2所以 [8x]2?8[8x]?7?0, [8x]2?6[8x]?8?0.
由上面第一个式子得到, ([8x]?1)([8x]?7)?0, 1?[8x]?7;由上面第二个式子得到, ([8x]?2)([8x]?3)?0, [8x]?2 或 [8x]?4. 因此
[8x]?1,5,6,7.
将[8x]可以取的四个值分别代入 (*) 式, 解得大于0的x分别为
133417,,,. 8888
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第十八届华杯赛决赛答案_初二A
