数值 cosA tanA 1 知识点二 ：解直角三角形 3.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦. 例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5. 4.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； ab(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=， ccatanA＝. b知识点三 ：解直角三角形的应用 5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①） 叠合式 （2）背靠式 (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡（1） 度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：解题方法：这两种模型种都有一条公坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，则有i＝tanα. （如图②） 或通过公共边相等，列方程求解. (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 6.解直角(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间三角形实的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； 际应用的(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； 一般步骤 (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 第五单元 四边形 第19讲 多边形与平行四边形
知识点一：多边形 关键点拨与对应举例 多边形中求度数时，灵（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 1.多边形的相（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，活选择公式求度数，解关概念 并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边nn?3?形对角线条数为?． 2决多边形内角和问题时，多数列方程求解. 例： (1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10． (2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形． 2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180° （2）外角和：任意多边形的外角和为360°. （1）定义：各边相等，各角也相等的多边形. n?2??180o?（2）正n边形的每个内角为n，每一个外角为360°/n. ( 3 ) 正n边形有n条对称轴. （4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.3.正多边形 知识点二 ：平行四边形的性质 4.平行四边形的定义 5.平行四边形的性质 DOCAB利用平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示. 的性质解题时的一些常用到的结（1） 边：两组对边分别平行且相等. 论和方法： （1）平行四边形即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. 相邻两边之和等（2）角：对角相等，邻角互补. 即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， 于周长的一半. ∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°. （3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD （4）对称性：中心对称但不是轴对称. （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长. 例： 如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=，则四边形BCEF的周长为. 6.平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF. （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半. （3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD. 知识点三 ：平行四边形的判定 （1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□. （2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□. 例：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形. 7.平行四边形的判定 （3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□. （4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□. （5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□. 第20讲 特殊的平行四边形
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 矩 形 菱 形 正方形 关键点拨及对应举例 (1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题. （2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角. （3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边. （1）四个角都是直角 （1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高 =对角线_乘积的一半 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长 =2S△ABD =4S△AOB 1.性质 （具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等） （2）对角线相等且互相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （4）对角线相等且互相垂直、平分 例：判断正误. 邻边相等的四边形为菱形.（ ） 有三个角是直角的四边形式矩形. （ ） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. （ ） 对边相等的矩形是正方形.（ ） 2.判定 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形 （3）一个角是直角的菱形 包含关系： 3.联系 知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳 （1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. 如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形. 4.中点四边形（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. （1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形5.特殊四边形中的解题模型 ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.） 图① 图② 图③ 图④ 第六单元 圆
第21讲 圆的基本性质
知识点一：圆的有关概念 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二 ：垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； （2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个. （3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆. 关键点拨与对应举例 1.与圆有关的概念和性质 2.垂径定理及其推论 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： ① 弧AC=弧BC; 延伸 ②弧AD=弧BD； ③AE=BE; ④AB⊥CD;⑤CD是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、弧、弦的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立. 知识点四 ：圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a, ∠A=1/2∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： 在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等. 例：如图，AB是⊙O的是⊙O上两4.圆周角定理及其推论 ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. ③ 圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，直径，C，D∠ABC+∠ADC=180°. 点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°． 第22讲 与圆有关的位置关系
知识点一：与圆有关的位置关系 关键点拨及对应举例 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可. 1.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d. (1)d
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