初中数学知识点整理表格版

线平行． ②平行于同一条直线的两直线平行． 知识点四 ：命题与证明 （1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题. 9.命题与证明 （2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成\如果p，那么q\的形式，其中p是题设，q是结论. （3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了. 例：下列命题是假命题的有( ③ ) ①相等的角不一定是对顶角； ②同角的补角相等； ③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题； ④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题. 第15讲 一般三角形及其性质

知识点一：三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例 失分点警示： （1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类 在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系. 例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15. 1.三角形的分类 2.三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）内角和定理： ①三角形的内角和等180°； ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解. 3.角的关系 四线 性 质 4.三角形中的重要线段 （1） 角平线上的点到角两边的距离相等 角平分（2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内线 心） （1） 将三角形的面积等分 中线 （1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. （2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 高 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=11∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）225. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结 -（90°-∠C）=1(∠C-∠B）； 2对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果. 1∠A+90°； 211如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=22如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-1∠A. 2失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对知识点二 ：三角形全等的性质与判定 (1)全等三角形的对应边、对应角相等． 6.全等三角形的性质 (3)全等三角形的周长等、面积等． 一般三角形全等 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） (2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS. SSS（三边对应相等） SAS（两边和它们的夹角对应相等） ASA（两角和它们的夹角对应相等） AAS（两角和其中一个角的对边对应相等） (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 应边与对应角. 失分点警示 如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等. 7.三角形全等的判定 直角三角形全等 （1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. 例： 如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，CE=3. 8.全等三角形的运用 （2）全等三角形中的辅助线的作法： ①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. 则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④. ②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，AE=2，则第16讲 等腰、等边及直角三角形

知识点一：等腰和等边三角形 关键点拨与对应举例 （1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC?∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 （1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形. 1.等腰三角形 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形. 失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°. （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB. 例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9. 2.等边三角形 知识点二 ：角平分线和垂直平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 3.角平分线 4.垂直平分线图形 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上． （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； AOBPO12BA例：如图，△ABC中，PC∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6. C知识点三：直角三角形的判定与性质 （1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的AcbCaD(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则5.直角三角形的性质 AC＝1AB； 2(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长B1＝AB. 2度问题. （2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 . 6.直角三角形的判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△ (3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△. AcbCaD论. （3）在折叠问题中，求长度，往B往需要结合勾股定理来列方程解决. 第17讲 相似三角形

知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例 列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 1. 比例 线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ac?，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线bd段． (1)基本性质：a?c? ad＝bc；（b、d≠0） bd已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解. 例：若2.比例 的基本性质 (2)合比性质：a?cbd(3)等比性质：?a?b＝c?dbd；（b、d≠0） acm?＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)? bdna?c?...?m＝k.（b、d、···、n≠0） b?d?...?nl1ABCl2DEFl3l4l5a3a?b8?，则?. b5b5（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于DAABDE. ?BCEF3.平行线分线段成比例定理 （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则AOBOAOB. ?ODOC5. 3C（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. BDEC点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果4.黄金分割 5－1AC＝=≈，那么AB2例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm． 线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，ACAB，则△ABC?DFDEDA判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 FBCE件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 DA如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 F5.相似三角形的判定 BCE明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例. ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB?DEACBC?DFEFDA，BCEF则△ABC∽△DEF. (1)对应角相等，对应边成比例． 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4. (2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2. 6.相似 三角形的性质 (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． （1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图7.相似三角形的基本模型 形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果. 第18讲 解直角三角形

知识点一：锐角三角函数的定义 正弦: sinA＝∠A的对边a＝ c斜边∠A的邻边b＝ c斜边关键点拨与对应举例 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 1.锐角三角函数 余弦: cosA＝正切: tanA＝ 度数 ∠A的对边a＝. ∠A的邻边b30° 45° 60° 2.特殊角的三角函三角函数 sinA