初中数学知识点整理表格版

知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系 6.一次函数与方程 一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. 二元一次方程组 的解?两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交y=k1x+b 点坐标. y=k2x+b （1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的例： （1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数． 解集 （2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集 7.一次函数与方程组 8.一次函数与不等式 知识点四 ：一次函数的实际应用 （1）设出实际问题中的变量； （2）建立一次函数关系式； （3）利用待定系数法求出一次函数关系式； （4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； （6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值. 9.一般步骤 10.常见题型 （1）求一次函数的解析式. （2）利用一次函数的性质解决方案问题. 第11讲 反比例函数的图象和性质

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 k（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的x关键点拨与对应举例 例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数． 1.反比例函数的概念 取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： k①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) xk的符号 k>0 图象 经过象限 图象经过第一、三象限 （x、y同号） y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. 2.反比例函数的图象和性质 k<0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 例：若(a，b)在反比例函数y?k的x图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在\、\不在\4.待定系数法 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x. 知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 k（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线x与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. 失分点警示 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：5.系数k的几何意义 （2）常见的面积类型： y?3或xy??（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 3. x涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD. 6.与一次函数的综合 知识点三：反比例函数的实际应用 7 .一般步骤 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 第12讲 二次函数的图象与性质

知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0. 1.一次函数的定义 形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. （1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式. 2.解析式 x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点二 ：二次函数的图象与性质 图象 （1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大开口 对称轴 向上 x＝ ?向下 b 2a3.二次函数的图象和性质 顶点坐标 增减性 小. 失分点警示 （2）在自变量限定范围求二当x>?b2a时，y随x的增大2a而增大；当x＜?b时，y随x的增大而减小. b时，y随x的增大而减小；对称轴是否在取值范围内，2a而不能盲目根据公式求解. b当x＜?时，y随x的增大而增大. 例：当0≤x≤5时，抛物线2a当x>?次函数的最值时，首先考虑y=x2+2x+7的最小值为7 . 最值 4ac?b2bx=?y最小＝. 4a2a，决定抛物线的开口方向及开口大小 决定对称轴（x=-b/2a）的位置 决定抛物线与y轴的交点的位置 4ac?b2bx=?y最大＝. 4a2a，某些特殊形式代数式的符号： ① a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. ③ 2a+b的符号，需判断对称 轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. a 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0时，抛物线与x轴有2个交点; 时，抛物线与x轴有1个交点; 时，抛物线与x轴没有交点 a、 b3.系数a、b、c c b－4ac 2决定抛物线与x轴的交点个数 知识点三 ：二次函数的平移 失分点警示： 抛物线平移规律是“上加下减，4.平移与解析式的关系 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 左加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2． 知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式 5.二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＜0，无实根 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. 2例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1. 6.二次函数与不等式 第13讲 二次函数的应用

知识点一：二次函数的应用 关键点拨 一般步骤 若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立实物抛物线 ① 据题意，结合函数图象求出函数解的坐标系要使求出的二次函数表达析式； 式比较简单；②使已知点所在的位置②确定自变量的取值范围； ③根据图象，结合所求解析式解决问适当（如在x轴，y轴、原点、抛物题. 线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解. 解决最值应用题要注意两点： ① 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； ①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”实际问题中 求最值 ② 研究自变量的取值范围； 要设为自变量，“什么”要设为函数； ③ 确定所得的函数； ④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； ②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内. ⑤解决提出的实际问题. ① 根据几何图形的性质，探求图形中结合几何图形 由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围. 的关系式； ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 第四单元 图形的初步认识与三角形

第14讲 平面图形与相交线、平行线 知识点一：直线、线段、射线 1. （1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线． 基本事实 （2）线段的基本事实：两点之间，线段最短． 知识点二 ：角、角平分线 （1）角：有公共端点的两条射线组成的图形． 2.概念 3.角的度量 4.余角和补角 （2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线 1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600'' ( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°?∠1与∠2互为余角； ( 2 ) 补角：∠1＋∠2＝180°?∠1与∠2互为补角. （3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等． （1）同位角：形如”F”（;2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”. 一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察 关键点拨 例：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线. 例： （1）15°25'＝°； 37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''. （2）32°的余角是58°，32°的补角是148°. 知识点三 ：相交线、平行线 5.三线八角 6.对顶角、邻补角 （1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角. （2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°. （1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线． 7.垂线 （2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 （1）平行线的性质与判定 例：如图所示，点 A到BC的距离为AB，点B到AC的距离为BD，点C到AB的距离为BC. （1）如果出现两条平行线被其中一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线. （2）在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用. BCAD例：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6组对顶角. ①同位角相等?两直线平行 8.平行线 ②内错角相等?两直线平行 ③同旁内角互补?两直线平行 （2）平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直