(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项； 3.解一元一次方程的步骤 (2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号； (3)移项：移项要变号； (4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)； (5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a. 思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程. 失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误. 已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组. 例： 2x?y?9已知?则x-y的值为x-y=4. ?x?2y?3?4.二元一次 方程组的解法 方法： (1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解； (2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法. 知识点三 ：一次方程(组)的实际应用 (1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量； （1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x. （2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等. 5.列方程(组) 解应用题的一般步骤 (2)设未知数； (3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）； (4)解方程(组)； (5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意； (6)作答：规范作答，注意单位名称． （1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%. （2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息. 6.常见题型及关系式 （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间. （4）行程问题：路程=速度×时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程； ②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程. 第6讲 一元二次方程
知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 例：方程axa1. 一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ?2?0是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1. 解一元二次方程时，注意观察， 先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6. 2.一元二次方程的解法 ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）. ?b?b2?4ac2a(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法． 知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)当Δ＝b2?4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根． 例：方程x2?2x?1?0的判别3.根的判别式 (2)当Δ＝b2?4ac=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝b?4ac<0时，原方程没有实数根． 2式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程x2?2x?3?0的判别式等于－8，故该方程没有实数根. （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. *与一元二次方程两根相关代数式的常见变形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,1x1?1x1?x2等. ?x2x1x24.根与系数的关系 （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0. 知识点三 ：一元二次方程的应用 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 4.列一元二次方程解应用题 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 第7讲 分式方程
知识点一：分式方程及其解法 关键点拨及对应举例 例：在下列方程中，①x?1?0；②1.定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2x?y??4；③是③. 1?x，其中是分式方程的x?1 方程两边同乘以 基本思路：分式方程 整式方程 最简公分母 约去分母 2.解分式方程 解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； (2)解所得的整式方程； (3) 检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去． 例：将方程12??2转化为整式方程可x?11?x得：1－2＝2(x－1). 3.增根 使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例：若分式方程1?0有增根，则增根为1. x?1知识点二 ：分式方程的应用 4.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义. 第8讲 一元一次不等式(组)
知识点一：不等式及其基本性质 关键点拨及对应举例 例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1. 1.不等式的相关概念 （1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值. （3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围. 性质1：若a＞b,则 a±c>b±c； 2.不等式的基本性质 ab>； ccab性质3：若a＞b,c<0，则ac
知识点一：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例 点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴). （1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应． ( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P(x,y)在第一象限?x＞0，y＞0； 点P(x,y)在第二象限?x＜0，y＞0； 点P（x,y）在第三象限?x＜0，y＜0； 点P（x,y）在第四象限?x＞0，y＜0. （2）坐标轴上点的坐标特征： 3第二象限 (－，＋)21y第一象限 (＋，＋)x123第四象限 (＋，－)1.相关概念 （1）坐标轴上的点不属于任何象限. （2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决. –3–2–1O第三象限–1 (－，－)–2–32.点的坐标特征 ①在横轴上?y＝0；②在纵轴上?x＝0；③原点?x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 ①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； ②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 （4）点P（a,b）的对称点的坐标特征： ①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)； ③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)． （5）点M（x,y）平移的坐标特征： M（x,y） M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|． （2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离： 点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|； 点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|． 3.坐标点的距离问题 知识点二：函 数 平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等. （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量． （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法. （3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义． 失分点警示 函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=x?3中自变量的取值范x?54.函数的相关概念 围是x≥-3且x≠5. 读取函数图象增减性的技（1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； 巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段. 5.函数的图象 ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. （2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 第10讲 一次函数
知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质 （1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0关键点拨与对应举例 例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数, 1.一次函数的相关概念 时，称为正比例函数． （2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线. k，b 符号 大致 K＞0， b＞0 K＞0， b＜0 K＞0，b=0 k<0， b>0 k<0， b<0 k<0， b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置. （2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)． 例： 一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）. 2.一次函数的性质 图象 经过象限 图象性质 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 (1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，3.一次函数与坐标轴交点坐标 只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是(b－，0，与y轴的交点是(0，b)； k)(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)． （1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)； ②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； ③解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型： ①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. (1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2. 知识点二 ：确定一次函数的表达式 4.确定一次函数表达式的条件 5.一次函数图象的平移 规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同. ②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h. 例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．
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