初中数学知识点整理表格版

初中数学教材知识梳理·系统复习

第一单元 数与式 第1讲 实 数

知识点一：实数的概念及分类 （1）按定义分 （2）按正、负性分 正有理数 有理数 0 有限小数或 正实数 负有理数 无限循环小数 实数 0 实数 正无理数 负实数 无理数 无限不循环小数 负无理数 知识点二 ：实数的相关概念 （1）三要素：原点、正方向、单位长度 例： 数轴上表示的点到原点的距离是. a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0. 例：3的相反数是-3，-1的相反数是1. 关键点拨及对应举例 （1）0既不属于正数，也不属于负数. （2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°. （3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数. 1.实数 2.数轴 3.相反数 （2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 （1）概念：只有符号不同的两个数 （2）代数意义：a、b互为相反数? a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等 （1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离 （1）若|x|=a（a≥0），则x=±a. （2）对绝对值等于它本身的数是非负数. 例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1. 例： -2的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数有±1. 4.绝对值 5.倒数 （2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b) -a(a＜0). b-a(a＜b) （3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0. （1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0) （2）代数意义：ab=1?a,b互为倒数 知识点三 ：科学记数法、近似数 （1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数 例： 21000用科学记数法表示为×104； 19万用科学记数法表示为×105；用科学记数法表示为7×10-4. 例： 精确到百分位是；精确到是. 6.科学记数法（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） （1）定义：一个与实际数值很接近的数. （2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. - 7.近似数 知识点四 ：实数的大小比较 （1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大. 例： 把1，-2,0，按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞. 8.实数的大小比较 （2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小. （3）作差比较法：a-b＞0?a＞b；a-b=0?a=b；a-b＜0?a＜b. （4）平方法：a＞b≥0?a2＞b2. 知识点五 ：实数的运算 9. 常见运算 乘 方 零次幂 平方根、 算术平方根 立方根 几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负） a=_1_(a≠0) -pp0例： （1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__; 3-1=_1/3_;π0=__1__; (2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__. 负指数幂 a=1/a（a≠0，p为整数） 2若x=a（a≥0）,则x=?a.其中a是算术平方根. 33若x=a,则x=a. 失分点警示：类似 “的算术平方根”计算错误. 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4___,的算术平方根是___2__. 先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左 10.混合运算 向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律， 使问题简单化 第2讲 整式与因式分解

知识点一：代数式及相关概念 （1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字关键点拨及对应举例 求代数式的值常运用整体代入法计算. 例：a－b＝3，则3b－3a＝－9. 1.代数式 2.整式 （单项式、多项式） 母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式． （2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值． （1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数. （2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数. （3）整式：单项式和多项式统称为整式. （4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 例： （1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤. （2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是 __1 . 知识点二：整式的运算 3.整式的加减运算 (1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． (2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号. (3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. (1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n； 失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项. 例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2. 其中m,n都在整数 (1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6. （2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m. 4.幂运算法则 (2)幂的乘方：(am)n＝amn； (3)积的乘方：(ab)n＝an·bn； (4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n (a≠0). (1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄． (2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb. 失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错. 例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2. 5.整式的乘除运算 (3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. (4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除. (5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加． （6）乘法 公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式： a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用 6.混合运算 注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算． 例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__. 知识点五：因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式． 7.因式分解 (2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). ②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2. (3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解. (1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式； (2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算． 第3讲 分 式

知识点一：分式的相关概念 关键点拨及对应举例 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④是分式是②③④；最简分式 ③. 1. 分式的概念 （1）分式：形如子. A (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式B（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 2x?2，其中x2?12.分式的意义 A无意义； BA(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义； B(1)无意义的条件：当B＝0时，分式(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0. A＝0. Bx2?1例： 当的值为0时，则x＝-1. x?1( 1 ) 基本性质：3.基本性质 AA?CA?C??(C≠0)． BB?CB?C由分式的基本性质可将分式进行化简： （2）由基本性质可推理出变号法则为： A?AAA?A???A????； ??. B?BBBB?Bx2?1x?1例：化简：2=. x?2x?1x?1知识点三 ：分式的运算 (1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式4.分式的约分和通分 即ama?； bmb(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即11和的最简公分母2x?xx?x?1?acacbd,?, bdbcbc为xx2?1. ??5.分式的加减法 aba±b(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝； cccacad±bc(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝. bdbd例：1x＝－1. ?x?11?x ab121＝2y； ?＝；?2ba2xxy?3?＝27. ?3???8x?2x?36.分式的乘除法 acacacad(1)乘法：b·＝； (2)除法：； 例：?＝dbdbcbda?＝a (n为正整数). (3)乘方：???bn?b?nn(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入. 7.分式的混合运算 先分解后约分. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 第4讲 二次根式

知识点一：二次根式 （1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 关键点拨及对应举例 失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等1.有关概念 （3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 于0等.例：若代数式取值范围是x＞1. 1有意义，则x的x?1（1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即a≥0； 利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如2.二次根式的性质 ②二次根式的值是非负数，即a≥0. 注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. a?1+b?1=0，则a=-1，b=1. （2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=a?1+1?a,则a=1,b=0. (2)两个重要性质： ?a?0?； ???a?a?0?(3)积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)； ①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝???a例：计算： 3.142＝；24=；=2 ；??2?2＝2； (4)商的算术平方根：知识点二 ：二次根式的运算 a?bab (a≥0，b＞0)． 442?? 9933.二次根式的加减法 4.二次根式的乘除法 5.二次根式的混合运算 先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式． （1）乘法：a·b=ab(a≥0，b≥0)； 例：计算：2?8?32＝32. 注意：将运算结果化为最简二次根式. 例：计算：3?2＝1；2332324. ??22aa（2）除法： = (a≥0，b＞0)． bb运算时，注意观察，有时运用乘法公式运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）． 会使运算简便. 例：计算：(2+1)( 2 -1)= 1 . 第二单元 方程(组)与不等式(组)

第5讲 一次方程(组)

知识点一：方程及其相关概念 关键点拨及对应举例 1.等式的基本性质 (1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c . (2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a. (4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c. (1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程． 失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0. 例：判断正误. (1)若a=b,则a/c=b/c. (×) (2)若a/c=b/c，则a=b. (√) ab?(c≠0)． cc(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有2.关于方程 未知数的项的次数都是1的整式方程． 的基本概念 (3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程． (4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解． 知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组 在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0. 例：若(a-2)x|a?1|?a?0是关于x的一元一次方程，则a的值为0.