欧阳与创编 2021.03.08
最小二乘法多项式拟合
时间：2021.03.08 创作：欧阳与 对于给定的数据点(xi,yi),1?i?N，可用下面的n阶多项式进行拟合，即
为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差
都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即
称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式f(x)的方法即为最小二乘法多项式拟合。
确定上述多项式的过程也就是确定f(x)中的系数
ak,0?k?n的过程，根据最小二乘原则，则偏差平方和
应该是这些系数的函数，即
为使上式取值最小，则其关于ak,0?k?n的一阶导数应该为零，即有
将上面各等式写成方程组的形式可有 写成矩阵形式有
上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数ak,0?k?n得到拟合方程。
考虑到一般情况提高拟合多项式的阶数并不能提
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高拟合精度，所以常用的多项拟合阶数为一阶和二阶，即线性拟合和二次拟合。两者的计算公式如下：
关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，
还可以有另一思路，下面对此进行说明。由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定，因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到
下面考虑先计算斜率再计算截距的方法，从下图
yy?(x,y)x?x可见，斜率计算与坐标系的位置无关，所以可以将坐标原点平移到样本的xi和yi坐标的均值所在点上 图中
则在新的坐标系(x?,y?)下斜率的计算公式与前面a1的计算公式相同，将其中的坐标(x,y)换成(x?,y?)即可得到下面的计算公式
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由样本在新坐标系下的坐标xi?和yi?的均值为零，或者由下面推导可知
则斜率的计算公式可以简化为 还原为原坐标有
下面推导截距的计算公式
这样可以得到两组计算公式，分别如下 或
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最小二乘法多项式拟合之欧阳与创编
