人教版高中数学【选修4-5】[知识点整理及重点题型梳理]_不等关系与基本不等式_基础

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人教版高中数学选修4-5

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

【巩固练习】

不得关系与基本不等式

【学习目标】

1．在复习不等式性质的基础上，介绍了含有绝对值的不等式及其解法，平均值不等式及简单应用、证明不等式的一些基本方法，以及不等式在实际生活中的应用．

2．特别强调了不等式及证明的几何意义和背景，以加深学生对不等式的数学本质的理解、提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力． 【要点梳理】 要点一：不等式的性质

性质1 对称性：a?b ? b?a； 性质2 传递性：a?b, b?c ? a?c；

性质3 加法法则（同向不等式可加性）：a?b?a?c?b?c?c?R?； 推论：a?b,c?d?a?c?b?d． ?c?0?ac?bc，?性质4 乘法法则：若a?b，则?c?0?ac?bc，

?c?0?ac?bc.? 推论1: a?b?0,c?d?0?ac?bd；

推论2：a?b?0n?N*?a2?b2?0； 推理3：a?b?0n?N*?an?bn?0； 推理4：a?b?0n?N?且n?1?na?nb．

要点二：含有绝对值的不等式 绝对值的几何意义

设a是一个实数，在数轴上|a|表示实数a对应的点与原点的距离； |x-a|表示实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离．

关于绝对值的几个结论 定理

对任意实数a和b，有

??????|a?b?a?b| 资料来源于网络 仅供免费交流使用

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推论 1．

a?b?a?b；

2．a?b?a?c?c?b．

3

不等式 |x|a的解集 ，可以把

．

a>0 -a

要点诠释：

（1）关于定理

? ? R x>a或x<-a ?x?R|x?0? a?b?a?b?a+ba、b、a+b看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解

便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“绝对值的三角形不等式”．

（2）绝对值不等式|a＋b|≤|a|＋|b|或|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值．

绝对值不等式的解法

含绝对值的不等式|x|a的解集

f?x??c?c?0?和f?x??c?c?0?型不等式的解法

1． 先去绝对值符号，化为不等式组：

f?x??c?c?0??f?x??c或f?x???c； f?x??c?c?0???c?f?x??c．

2．解关于x的不等式．

不等式f?x??g?x?的解法

1．将不等式两边平方，去绝对值：??f?x??????g?x???；

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2．解不等式：??f?x??????g?x???．

含有两个绝对值符号的不等式解法

一般有三种解法，分别是“零点划分法”、“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．

“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；

(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n＋1个区间；

(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； (4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集． 要点三：平均值不等式

定理1 对任意实数a，b，有a2?b2?2ab（当且仅a=b时，取“=”号）． 定理2 对任意两个正数a，b，有

22a?b?ab（当且仅a=b时，取“=”号）． 2定理3 对任意三个正数a，b，c，有a3?b3?c3?3abc（当且仅a=b=c时，取“=”号）． 定理4 对任意三个正数a，b，c，有

a?b?c3． ?abc（当且仅a=b=c时，取“=”号）

3推广 对于n个正数a1，a2，an?n?2?，有

a1?a2??ann． ?a1a2an（当且仅当a1=a2==an时取“=”号）

na?a2??an其中，1、 na1a2an叫作这n个正数的算术平均值和几何平均值， 因此这个结论也可以阐

n述为n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．

要点四：不等式的证明

不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据．但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多． 比较法 有两种： 1．求差比较法：

任意两个代数式a、b，可以作差a?b后比较a?b与0的关系，进一步比较a与b的大小． ①a?b?0?a?b； ②a?b?0?a?b； ③a?b?0?a?b． 2．求商比较法：

任意两个值为正的代数式a、b，可以作商a?b后比较

a与1的关系，进一步比较a与b的大小． ba?1?a?b； ba②?1?a?b； b①

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