北师大版2024年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
2+1 2
x x — x
4
4 +1 2k+1
—— 2k+ 3 2k+ 3
x > k+ 1X = --------- 2k 2(k+1 )*k十 1 2(k+ 1 ) 2^k^
2k+ 3
要证当n = k+ 1时不等式成立， 只需证
2 .：k+
即证 2k； 3> x；'ik + 1 k+ 2 . 由基本不等式
2
2k+ 3
4士比2 > k+ 1 k+ 2成立，故-2k3 > k+ 2成立.
2 八 人‘ 屮+1
+
所以，当n = k+ 1时，不等式成立.
2 + 1 4+ 1 2n+ 1 > -------
由①②可知，n� N +时，不等式 2 x 4 x…x 2n > . n + 1成立.
21. (12分)已知函数f(x) = x3 + 2bx2 + ex— 2的图像在与 x轴交点处的切线方程是 y= 5x —10.
(1) 求函数f(x)的解析式.
1 ,, .，一 - ⑵设函数g(x) = f(x) + §mx,若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数 g(x)取得
极值时对应的自变量 x的值.
解：(1)由已知得切点为(2,0), 故有 f(2) = 0,即卩 4b+ e + 3 = 0?① 又 f' (x) = 3x2 + 4bx+ e,
由已知 f' (2) = 12+ 8b + e= 5，得 8b + e+ 7= 0?② 联立①②，解得b=— 1, e = 1.
所以函数的解析式为 f(x)= x3 — 2/+ x— 2. (2) g(x) = x3— 2/+ x— 2 + fmx, 令 g ' (x)= 3^— 4x + 1 + fm= 0.
1
当函数有极值时，方程 3/— 4x+ 1 + 3m= 0有实数解，即 0. 由△= 4(1 — m) > 0，得 mW 1.
2 2
① 当m= 1时，g' (x) = 0有实数根x=-，在x=&左右两侧均有g' (x)>0，故函数g(x)
3 3 无极值.
② 当 m<1 时，g' (x) = 0 有两个实数根 X1 = (2 — . 1 — m), X2= 3(2 + 备；1 — m).
1
d
, __________ d
_________
当x变化时，g ' (x), g(x)的情况如下表：
x ：— a, X1) X1 (X1, 2) xX2 (X2,+m ) 11
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g' (x) + 0 极大值 一 0 极小值 + g(x) 所以当m� (— a, 1)时，函数g(x)有极值,
1 . -------------
当x = 3(2 — ,1 — m)时，g(x)有极大值；
1 _________
当X = 3(2 + 1 — m)时，g(x)有极小值.
22. (12分)(2014浙江高考)已知函数f(x)= x3+ 3x — a|(a>0),将f(x)在［—1,1］上的最小值 记为g(a).
(1)求 g(a).
⑵证明：当 x� ［ — 1,1］时，恒有 f(x)w g(a)+ 4. (1)解：因为a>0，— K x< 1，所以 ① 当0 若 x � ［ — 1, a］，则 f(x) = x3— 3x+ 3a, f' (x) = 3x — 3<0. 故f(x)在(—1, a)上是减函数. 若 x � ［a,1］，则 f(x)= x3 + 3x— 3a, f' (x) = 3x + 3>0. 故f(x)在(a,1)上是增函数. 所以 g(a)= f(a)= a3. ② 当a> 1时，有xw a, 则 f(x) = x3 — 3x + 3a, f' (x)= 3x2— 3<0. 故f(x)在(—1,1)上是减函数， 所以 g(a)= f(1) =— 2 + 3a. 综上, 2 2 g⑻=—囂a； 1. (2)证明：令 h(x) = f(x)— g(a). ①当 0 若 x � ［a,1］,则 h(x) = x3 + 3x— 3a — a3, h' (x)= 3/+ 3, 在 (a,1)上是增函数. 所以h(x)在［a,1］上的最大值是h(1) = 4— 3a— a3.因为0 所以 h(x)在［ — 1, a］上的最大值是 h(— 1) = 2+ 3a — a3. 令 t(a) = 2+ 3a — a3，则 t' (a)= 3 — 3a2>0. 知t(a)在(0,1)上是增函数， 12 北师大版2024年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案 所以 t(a) ②当 a》1 时，g(a)= — 2 + 3a, 故 h(x) = x3 — 3x+ 2，得 h' (x)= 3x2— 3. 此时h(x)在 (— 1,1)上是减函数. 因此h(x)在［ — 1,1］上的最大值是 h( — 1) = 4. 故 f(x) < g(a) + 4. 综上，当 x� ［ — 1,1］时，恒有 f(x) 13
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