高等数学部分易混淆概念
第一章：函数与极限
一、数列极限大小的判断
例1：判断命题是否正确．
若xn?yn(n?N)，且序列xn,yn的极限存在，limxn?A,limyn?B,则A?B
n??n??解答：不正确．在题设下只能保证A?B，不能保证A?B．例如：xn?,yn?xn?yn,?n，而limxn?limyn?0．
n??n??1n1，n?1例2．选择题
设xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,则limzn（ ）
n??n?? A．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确
分析：若limxn?limyn?a?0，由夹逼定理可得limzn?a?0，故不选A与D.
n??n??n???n， 取xn?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，则xn?zny且mil(1n1nn??但myn)?0xn?，ilzn
n??不存在，所以B选项不正确，因此选C．
例3．设xn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,则{xn}与{yn}（ ）
n?? A．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a
C．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确．
分析：由于xn?a?yn,，得0?a?xn?yn?xn，又由lim(yn?xn)?0及夹逼定理得
n??lim(a?xn)?0
n?? 因此，limxn?a，再利用lim(yn?xn)?0得limyn?a．所以选项A．
n??n??n??二、无界与无穷大
无界：设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得
f(x)?M?x?X?D
则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任何正数M，总存在x1?X，使f(x1)?M，那么函数f(x)在X上无界．
无穷大：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数?（或正数，只要x适合不等式0?x?x0??（或x?X），对应的函数值f(x)总满足不X）等式
f(x)?M
则称函数f(x)为当x?x0（或x??）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果f(x)在x0某邻域内无界，则limf(x)??
x?x0② 如果limf(x)??，则f(x)在x0某邻域内无界
x?x0解析：举反例说明．设f(x)?sin，令xn?1x1x12n???2,yn?1,，当n???时，n?xn?0,yn?0，而
limfx(n?)n??? linm?(?2???)n???2? limf(yn)?0
n???故f(x)在x?0邻域无界，但x?0时f(x)不是无穷大量，则①不正确．
由定义，无穷大必无界，故②正确．
结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．
三、函数极限不存在?极限是无穷大
当x?x0（或x??）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．
?x?1?例5：函数f(x)??0?x?1?x?0x?0x?0，当x?0时f(x)的极限不存在．
四、如果xlim?xf(x)?0不能退出lim0x?x01?? f(x)例6：f(x)???x?0x为有理数1，则limf(x)?0，但由于在x?0的任一邻域的
x?x0f(x)x为无理数无理点均没有定义，故无法讨论
1在x?0的极限． f(x)结论：如果limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)?0，则
x?x0x?x0lim11??．反之，f(x)为无穷大，则为无穷小。 f(x)f(x)五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
例7．求极限lime,lime
xx??x?01x解：limex???,limex?0，因而x??时ex极限不存在。
x???x??? lime?0,lime???，因而x?0时e极限不存在。
x?0?x?0?1x1x1x六、使用等价无穷小求极限时要注意：
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换
例8：求极限limx?01?x?1?x?2 x2分析一：若将1?x?1?x?2写成(1?x?1)?(1?x?1)，再用等价无穷小替换就会导致错误。
分析二：用泰勒公式
11(?)122x2??(x2))1?x?1?x?(1?x?22!11(?)122x2??(x2))?2 ?(1?x?22!1??x2??(x2)41?x2??(x2)1??。 原式?42x4例9：求极限limsinx
x??x解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1。 sinxsin?lim??0 x??x?七、函数连续性的判断
（1）设f(x)在x?x0间断，g(x)在x?x0连续，则f(x)?g(x)在x?x0间断。而f(x)?g(x),f2(x),f(x)在x?x0可能连续。
例10．设f(x)???0?1x?0，g(x)?sinx，则f(x)在x?0间断，g(x)在x?0连x?0续，f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0连续。
若设f(x)???1??1x?0，f(x)在x?0间断，但f2(x)?f(x)?1在x?0均连续。 x?0（2）“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件。
)?a”可得“如果limf(x)?f(x0)，则分析：由“若limf(x)?a，则limf(xx?x0x?x0x?x0x?x0limf(x)?f(x)，因此，f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续。再由例10可得，0”
f(x)在x0点连续并不能推出f(x)在x0点连续。
（3）?(x)在x?x0连续，f(u)在u?u0??(x0)连续，则f(?(x))在x?x0连续。其余结论均不一定成立。
第二章 导数与微分
一、函数可导性与连续性的关系
可导必连续，连续不一定可导。
例11．f(x)?x在x?0连读，在x?0处不可导。
二、f(x)与
f(x)可导性的关系
（1）设f(x0)?0，f(x)在x?x0连续，则f(x)在x?x0可导是f(x)在x?x0可
导的充要条件。
（2）设f(x0)?0，则f?(x0)?0是f(x)在x?x0可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论
设F(x)?g(x)?(x)，?(x)在x?a连续，但不可导，又g?(a)存在，则g(a)?0是
F(x)在x?a可导的充要条件。
分析：若g(a)?0，由定义
F?(a)?limF(x)?F(a)g(x)?(x)?g(a)?(a)g(x)?g(a)?lim?lim?(x)?g?(a)?(a)x?ax?ax?ax?ax?ax?a 反之，若F?(a)存在，则必有g(a)?0。用反证法，假设g(a)?0，则由商的求导法则知?(x)?F(x)在x?a可导，与假设矛盾。 g(x)利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。
四、在某点存在左右导数时原函数的性质
（1）设f(x)在x?x0处存在左、右导数，若相等则f(x)在x?x0处可导；若不等，则f(x)在x?x0连续。
（2）如果f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b)，且设limf?(x)?limf?(x)?m,则
x?x0?x?x0?f(x)在x?x0处必可导且f?(x0)?m。
若没有如果f(x)在(a,b)内连续的条件，即设limf?(x)?limf?(x)?a，则得
x?x0?x?x0?不到任何结论。
例11．f(x)???x?2?xx?0x?0，显然设limf?(x)?limf?(x)?1，但limf(x)?2，
x?0?x?0?x?0?x?0x?0?limf(x)?0，因此极限limf(x)不存在，从而f(x)在x?0处不连续不可导。
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、若xlimf?(x)?A,(A?0,可以取?）, 则limf(x)??
???x???若limf?(x)?A?0，不妨设A?0，则?X?0,x?X时，f?(x)?x???A，再由微分中2值定理
考研数学容易混淆概念辨析归纳
