【金版教程】2014届高考数学总复习 7.7 立体几何中的向量方法限
时规范训练 理 新人教A版
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·西安名校联考]若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则( )
A. l∥α C. l?α 答案：B
解析：因为直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B.
2. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC21
上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
33
A. EF至多与A1D，AC之一垂直 B. EF⊥A1D，EF⊥AC C. EF与BD1相交 D. EF与BD1异面 答案：B
解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
1121
则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，B(1,1,0)，
3333
B. l⊥α D. l与α斜交
D1(0,0,1)，
→→A1D＝(－1,0，－1)，AC＝(－1,1,0)， 1→11→
EF＝(，，－)，BD1＝(－1，－1,1)，
333
3
1→→→→→→EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.
3. 若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为( )
1
485A.
85C. －
15
15
B.
69 85
D. 0
答案：C
a·b2×2－815
解析：cos〈a，b〉＝＝＝－.
|a|·|b|23×2515
4. [2013·皖北五校联考]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且
BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为( )
A.
6
410
4
B. －
6 410 4
C. D. －
答案：A
解析：取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC， 如图，建立空间直角坐标系Bxyz， 则A(31
，，0)，D(0,0,1)， 22
31
，－，1)． 22
则AD＝(－
→∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC， ∴BE⊥平面AA1C1C. ∴BE＝(
→3
，0,0)为平面AA1C1C的一个法向量， 2
∴cos〈AD，BE〉＝－→→6， 4
设AD与平面AA1C1C所成的角为α， ∴sinα＝|cos|〈AD，BE〉|＝
→→6
，故选A. 4
2
5. [2013·江苏模拟]在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1、
A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是( )
A. C.
30
1030
15
1B. 2D.
15 10
答案：A
1
解析：建立如图所示的坐标系，设BC＝1，则A(－1,0,0)，F1(－，0,1)，B(0，－1,0)，
2
D1(－，－，1)，
1212
111→→
即AF1＝(，0,1)，BD1＝(－，，1)．
222∴cos〈AF1，BD1〉＝
→
→
30
＝.
→→10|AF1|·|BD1|
AF1·BD1
→→
6. [2013·天津十校联考]如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面
ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )
答案：A
3
解析：以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方
a32
形边长为a，则P(，0，a)，C(0，a,0)，则|MC|＝x＋y－a22
|MP|＝
2
，
ax－
2
2
＋y＋
2
3a2
2
.
1
由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分．
2二、填空题
7. [2013·泉州模拟]如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝→→3
，若以DA，3
DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．
答案：(1,1,1) 解析：设PD＝a，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，
aP(0,0，a)，E(1,1，)，
2
∴DP＝(0,0，a)，AE＝(－1,1，)．
23a2→→由cos〈DP，AE〉＝，∴＝a3
2
∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．
8. [2013·佛山质检]已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值________．
答案：
10 5
3
2＋·，
43
→→aa2
解析：如图建立空间直角坐标系，AB＝(0,1,0)， 1→→AD1＝(－1,0,1)，AE＝(0，，1)
2
→ 4
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
→→
由n·AB＝0可解得n＝(1,0,1)，n·AD1＝0
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ， 则sinθ＝
10＝.
→5| AE|·|n||AE·n|
→9. [2013·合肥调研]已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
4答案： 3
解析：如图建立空间直角坐标系Dxyz， 则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，
B1(2,2,4)，D1(0,0,4)， AD1＝(－2,0,4)， AB1＝(0,2,4)， AA1＝(0,0,4)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·AD1＝0，
则?
→??n·AB1＝0，→→→
?－2x＋4z＝0，?
即???2y＋4z＝0，
解得x＝2z且y＝－2z， 不妨设n＝(2，－2,1)， 设点A1到平面AB1D1的距离为d， →
|AA1·n|4则d＝＝. |n|3三、解答题
10. [2013·豫西模拟]已知在几何体A－BCED中，∠ACB＝90°，
5
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