第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
考点一 指数函数、对数函数及幂函数
1．指数与对数式的运算公式 (1)a·a＝amnmnm＋n，
(2)(a)＝a，
(3)(ab)＝ab.其中，a>0，b>0. (4)loga(MN)＝logaM＋logaN， (5)loga＝logaM－logaN， (6)logaM＝nlogaM， (7)alogNmnmmmMNna＝N，
logbN(8)logaN＝.其中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
logba2．指数函数、对数函数的图象和性质
指数函数y＝a(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0 xa>1两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0 都为减函数． [对点训练] ?1?b1．(2018·河南洛阳二模)已知点?a，?在幂函数f(x)＝(a－1)x的图象上，则函数f(x) ?2? 是( ) A．奇函数 C．定义域内的减函数 B．偶函数 D．定义域内的增函数 ?1?bb[解析] ∵点?a，?在幂函数f(x)＝(a－1)x的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，则2 ?2? 1－1 ＝，∴b＝－1，∴f(x)＝x，∴函数f(x)是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且2在每一个区间内是减函数．故选A. [答案] A 1 1 2．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1 ，则a，b，c的大小关系为( ) 32A．a>b>c C．c>b>a B．b>a>c D．c>a>b [解析] 由已知得c＝log23，∵log23>log2e>1，b＝ln2<1，∴c>a>b，故选D. [答案] D 3．(2018·山东潍坊一模)若函数f(x)＝a－a(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数 x－xy＝loga(|x|－1)的图象可以是( ) [解析] 因函数f(x)＝a－a(a>0且a≠1)在R上为减函数，故0 易知函数y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域为{x|x>1或x<－1}，x>1时函数y＝loga(|x|－1)的图象可以通过函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到，故选D. [答案] D 4．(2018·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________． [解析] 由题意得x－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则≥－2且(－2)－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)． 2 [答案] [－4,4) [快速审题] 看到指数式、对数式，想到指数、对数的运算性质；看到指数函数、对数函数、幂函数，想到它们的图象和性质． 2 2 2 x－xa2 基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关 2 系进行判断． (3)对于幂函数y＝x的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同． 考点二 函数的零点 1．函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 2．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 角度1：确定函数的零点个数或其存在范围 α [解析] 当x≤0时， 由f(x)＝0，即x＋2017x－2018＝0， 得(x－1)(x＋2018)＝0， 解得x＝1(舍去)或x＝－2018； 当x>0时，设g(x)＝x－2，h(x)＝lnx，如图，分别作出两个函数的图象， 2 由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f(x)在x>0时有两个零点． 综上，函数f(x)有3个零点，故选C. [答案] C [快速审题] 看到函数的零点，想到求方程的根或转化为函数图象的交点． 角度2：应用零点求参数的值(范围) 3 1 [解析] 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图，而函数y＝mx－恒过定 21?1???点?0，－?，设过点?0，－?与函数y＝lnx的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，lnx0)．因2?2???1 lnx0＋2111 为y＝lnx的导函数y′＝，所以图中y＝lnx的切线l1的斜率为k＝，则＝，解 xx0x0x0－0得x0＝e，所以k＝ 1 11 .又图中l2的斜率为，故当方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实 22e e??1 数根时，实数m的取值范围是?，?. ?2e? e??1 [答案] ?，? ?2e? 1 [探究追问] 将例2中“方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根”改为“方程f(x) 2 4 ?5?＝m?x－?恰有三个不相等的实数根”，结果如何？ ?4? ?5?[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图．函数y＝m?x－?恒过定?4??5??5?22 点?，0?，设过点?，0?与函数y＝1－x的图象相切的直线为l1，设切点坐标为(x0,1－x0)，?4??4? 1－x0因为y＝1－x(x≤1)的导函数y′＝－2x0，所以切线l1斜率k＝－2x0，则－2x0＝，解 5x0－ 4 2 2 1?5?得x0＝或x0＝2(舍)．所以直线l1的斜率为－1，结合图可知，当方程f(x)＝m?x－?恰有2?4?三个不相等的实根时，实数m的取值范围是(－1,0)． [答案] (－1,0) (1)判断函数零点个数的3种方法 (2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法 5
高考数学二轮复习专题二函数与导数第二讲基本初等函数
