由 (15) 式可求得ab杆在S?系中的位置
v1mL2π
x?ab?2x0?02Bl2sinTt 因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S?系中，cd杆的位置
x?cd??12xv0mL2Bl2sin2?0?Tt
相对地面参考系S，质心以V1C?2v0的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab杆在地面参考
系中的位置
x?x1v0mL?2?ab0?2v0t?2Bl2sin??Bl?t ?mL??cd杆在S系中的位置
x1vmL?2?cd?2v0t?02Bl2sin??Bl?t ?mL??回路中的电流由 (16) 式得
i?2Blv0mL2πm?L2Bl2sinTt?v2?02Lsin??Bl?t ?mL??解法Ⅱ：
当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动．设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为 E?Bl?v1?v2? 令u表示ab杆相对于cd杆的速度，有 EL?Blu
当回路中的电流i变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有
E?iL??L?t
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有 E?EL?0 由式(2’)、(3’)两式得
Blu?L?i?t
设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x?，在t＋?t时刻，ab相对于cd杆的距离为x?＋?x?，则由速度的定义，有
u??x??t 代入 (4?) 式得 Bl?x??L?i 若将x?视为i的函数，由(6’)式可知，?x??i为常量，所以x?与i的关系可以用一直线方程表示，即
(24)
(25)
(26) （27）(28)
(1’) (2’) (3’)
(4’)
(5’) (6’)
L(7’) i?b
Bl式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x0，这时i = 0，故得
L (8’) x??i?x0
BlBl或 (9’) i??x??x0?
Lx0表示t＝?时刻金属杆ab相对于cd杆的位置．x?表示在任意时刻t时ab杆相对于cd杆的位置，故?x??x0?就是杆ab在t时刻相对于cd杆的相对位置相对于它们在t＝?时刻的相对位置的位移，即从t＝?到t＝t时间内ab杆相对于cd杆的位移
(10') X?x??x0 于是有
Bl (11’) i?X
L任意时刻t，ab杆和cd杆因受安培力作用而分别有加速度aab和acd，由牛顿定律有 (12’) ?iBl?maab (13’) iBl?macd 两式相减并注意到(9?)式得
2B2l2 (14’) m?aab?acd???2iBl??X
L 式中?aab?acd?为金属杆ab相对于cd杆的加速度，而X是ab杆相对cd杆相对位置的位
x??2B2l2移．是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期
LmT?2π
2B2l2L??(15’)
在任意时刻t，ab杆相对cd杆相对位置相对它们初始位置的位移
?2π?X?Acos?t???
?T?A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得X随时间的变化率即速度
?2π??2π?V?A??sin????
?T??T?现已知在t＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度V?v0 故有
0?Acos?
解这两式，并注意到(15’) 式得
(16’)
(17’)
?2π?v0??A??sin?
?T???3π2
A?v0vT?02πBlmL 2
由此得
mL3π?v0mL?2??2π??t (18’) cos?t???sin?Bl?22?Bl2mL??T?因t = 0时刻，cd杆位于x = 0 处，ab杆位于x = x0 处，两者的相对位置由x0表示；设t时刻，cd杆位于x = xcd 处，ab杆位于x = xab处，两者的相对位置由xab－xcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为 X = xab－xcd－x0 (19’) 所以
vmL?2??t (20’) xab?xcd?x0?0sin?Bl??Bl2mL??(12’)和(13’)式相加, m?aab?acd???iBl?iBl?0 得
?aab?acd??0
由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和xcd之和应为 xab＋xcd = x0＋v0t (21’) 由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得
1vmL?2??t （22’） xab?x0?v0t?0sin?Bl??22Bl2?mL?v1mL?2??t （23’） xcd?v0t?0sin?Bl??22Bl2mL??由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流
?m2??t （24’） i?v0sin?Bl?2L?mL??评分标准：本题25分．
解法Ⅰ 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分． (23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．
解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分．
vX?0Bl
2004第21届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
