五、1．解法Ⅰ：
?的位置应位于OP1的延长线上的某点B1处，?q1如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q2的位置应位于OP2的延长线上的某点B2处．设
A1 A1为S面上的任意一点，根据题意有
qq? k1?k1?0 (1)
A1P1A1B1O ??B2 a P1 a P2 ?q2q2k?k?0 (2) RA1P2A1B2S图1 怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中
B1
?OP1A1与?OA1B1的关系．
?的位置B1使下式成立，即 若等效电荷q1OP1?OB1＝R2
OP1OA1?即 OA1OB1则 有
(3) (4)
(5)
△OP1A1∽△OA1B1
A1P1A1B1
?OP1OA1?a R? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1Rq1 a?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 由 (3) 式知，等效电荷q1???q1R2 OB1?a同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷
R???q2 q2a?的位置B2到原球壳中心O位置的距离 等效电荷q2 解法Ⅱ：
(6)
(7)
(8)
R2 OB2?a(9)
?两者在A1点产生的电在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1?，OB1?d．根据题意，q1和q1势和为零．有
式中
r1?(R2?a2?2Racos?)12
（2＇）
kq1q??k1?0 r1r1?（1＇）
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
r1??(R2?d2?2Rdcos?)12
（3＇）
?(R2?a2?2Racos?) q12(R2?d2?2Rdcos?)?q12（4＇）
（4＇）式是以cos?为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意?均成立，等号两边的相应系数应相等，即
?(R2?a2) q12(R2?d2)?q12（5＇）
q21d?q1?2a 由（5＇）、（6＇）式得
ad2?(a2?R2)d?aR2?0
解得
d?(a2?R2)?(a2?R2)2a 由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 d?R2a 由（6＇）、（9＇）式有
q?2R221?a2q1 考虑到（1＇）式，有
q???R1aq1 同理可求得
OBR22?a
q?R2??aq2 2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、q1?、q2、q2?共同产生，即
U?A?kq?1R11R1??? ?P1A?aB1A?P?2AaB2A??
6＇）
7＇） （8＇）
（9＇）
（10＇）（11＇）（12＇）
（13＇）(10)
（（
因
22P1A?r?2racos??a
2?R22B1A?r?2r??a???R2??cos??????a? ???B2 2A P2A?r2?2racos??a2 ?R22B2A?r?2r??a?代入 (10) 式得
??R2??cos??????a? ???O ??P2 a a P1 RS 图2
B1 ?1R? UA?kq? ?222224ar?2raRcos??R?r?2racos??a
?1r?2racos??a22??? ?a2r2?2raR2cos??R4?R(11)
评分标准：
本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．
第2问2分，即(11)式2分．
六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I?表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；vC表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vB表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，vB?表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理， 对C有
对B有
对AB有
A B????I A D C A I?sin??mvC
E (1) (2) (3)
I?I?cos??mv I?sin??mvB
I?cos??2m?v?vB?? vCsin??vB?cos??vBsin?
(4)
因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有
由以上五式，可解得
评分标准：
(5)
3?sin2?I?mv 21?3sin?(6)
本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．
七、解法Ⅰ：
当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
E?Bl?v1?v2?
当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时，回路中的自感电动势
E?iL??L?t 根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
E?EL?0
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有 mv0?2mVC 得
V0C?v2 VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．
现取一新的参考系S?，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O?，取坐标轴O?x?与x轴平行．设相对S?系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为u?，则有
v1?VC?u v2?VC?u? 因相对S?系，两杆的总动量为零，即有 mu?mu??0 由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得
2Blu?L?i?t 在S?系中，在t时刻，金属杆ab坐标为x?，在t＋?t时刻，它的坐标为x???x?，则由速度的定义
u??x??t 代入 (9) 式得 2Bl?x??L?i
若将x?视为i的函数，由（11）式知?x??i为常数，所以x?与i的关系可用一直线方程表示
x??L2Bli?b
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab在S?系中的坐标x?＝12x0，这时i =
0，故得
(1)
(2) (3)
(4) (5)
(6) (7) (8) (9)
(10) (11) (12)
L1 x??2Bli?2x0 或
i?2Bl?L??x??12x?0??
12x0表示t＝?时刻金属杆ab的位置．x?表示在任意时刻t，
杆ab的位置，故???x??12x?0??就是杆ab在t时刻相对初始位置的位移，用X表示，
X?x??12x0
当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得
i?2BlLX
这时作用于ab杆的安培力
?iBl??2B2l2 F?LX
ab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期
T?2π?m2B2l2L? 在任意时刻t， ab杆离开其初始位置的位移
X?Acos??2π??Tt???? A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab杆的振动速度
u??A??2π??2π?T??sin??Tt????? (19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab杆位于初始位置，即
X = 0 速度
u?v?110?VC?v02v0?2v0
故有
0?Acos?
v0?2π2??A???T??sin? 解这两式，并注意到(18)式得 ??3π2
A?v0T?v0mL4?2Bl2 由此得ab杆的位移
X?v0mL?2π3π?vmL2Bl2cos??Tt?2???02Bl2sin2πTt (13) (14)
(15) (16) (17) (18)
(19)
(20)
(21) (22)
23）
（
2004第21届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
