专题4 函数的性质
【典例解析】
1.（必修1第44页复习参考题A组第9题）已知函数f(x)?4x?kx?8在?5,20?上具有单调性，
2求实数的取值范围. 【解析】方法一：f(x)?4x?kx?8的对称轴x?性，则
2k2，要使函数f(x)?4x?kx?8在?5,20?上具有单调8kk?5或?20，解得的取值范围k?40或k?160. 88k2在区间?5,20?上f(x)?4x?kx?8无单调性，解得：40?k?160 ?20时，
8方法二：可逆向思考，若5?取它的补集得：的取值范围k?40或k?160.
【反思回顾】（1）知识反思；函数单调性的概念，二次函数及其性质；
（2）解题反思；本题已知区间有单调性，而对称轴不确定，即为轴动区间定问题。可先求出二次函数含有参数的对称轴方程，再根据题中条件所给的区间建立方程或不等式求出参数的范围。 2.（必修1第39页习题1.3题A组第6题）已知函数f(x) 是定义域在R 上的奇函数， 当x?0 时，f(x)?x(1?x)。画出函数的图象，并求出函数的解析式。 【答案】见解析
【解析】设x?0时，则?x?0，又当x?0时，f(x)?x(1?x)，则f(?x)??x(1?x)?x?x 又f(x)是定义域在R 上的奇函数；所以f(?x)??f(x)
2??x?x,x?0则得：f(x)??f(?x)?x?x，可得f(x)??2；
???x?x,x?022
【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性的概念，二次函数的图像；
（2）解题反思；本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数f(x)的图象，在利用奇函数的定义求出函数f(x)的解析式．利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． ②利用f(x)的奇偶性f(x) =－f(－ x)或f(x) =f(－x) ③要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f(x) ．
3.（必修1第39页复习参考题B组第3题）已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,??)上是减函数， 判断f(x)在(??,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断. 【解析】f(x)在(??,0)上是减函数； 证明：设x1＜x2＜0则-x1＞-x2＞0，
∵f(x)在（0，+∞）上是增函数∴f（-x1）＞f（-x2） 又f(x)是偶函数∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2） ∴f（x1）＞f（x2）∴f(x)在（-∞，0）上是减函数。 【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性与单调性
（2）解题反思；本题为抽象函数单调性的证明，可由条件出发，遵循单调性的证明步骤（设，作差，下结论），关键需借助偶函数的性质进行替换，完成证明。同时启发我们注意函数性质之间的联系。 【知识背囊】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1
自左向右看图象是下降的 2.函数的最值
前提 条件 结论 3.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－图象特点 关于y轴对称 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最大值 M为最小值 奇函数 4.函数的周期性 f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【变式训练】
变式1.已知函数f?x??x?4ax?2在区间???,6?内单调递减，则a的取值范围是（ ）
2A．a?3B．a?3C．a??3D．a??3 【答案】D．
【解析】函数f?x??x?4ax?2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x??2a，由已知函数在区间
2 ???,6?内单调递减可知区间???,6?应在直线x??2a的左侧，∴?2a?6，解得a??3，故选D．
变式2.已知函数f(x)＝2ax＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围
是( )
2
?3??3??3??3?A.?0，? B.?0，?C.?0，? D.?0，?
?4??4??4??4?
【答案】D
【解析】当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；
a?0,?33?当a≠0时，由?4(a?3)得0
2019高考数学从课本到高考之集合与函数专题04函数的性质学案
