探究以圆为背景的最值问题
动态几何问题中，最值问题是最具挑战性的，而以圆为载体的最值问题，其背景新颖、 构思巧妙、创意独特、内涵丰富，深受命题者的青睐.下面我们撷取儿例屮考试题，探究 其解法.
一、利用“两点之间，线段最短”求最小值
例1如图1,MN是半径为1的＜30的直径，点A在OO±, ZAMN=30° ,B%AN
(A)2x/2 (B)V2
(D)2
的中点，点P是直径MN±一个动点，则PA+PB的最小值为（）
解析 作出点B关于MN的对称点Bl由圆的对称性知：点P在直径MN上运动， 始终有PB~PB,要求PA + PB的最小值，就是求PA + PB'最小值，根据“两点之间，线 段最短”知，当点P运动到AB上时（如图2）, PA + PB*最小，即PA + PB最小值为AB',
N
连结OA、OB*,由ZAMN = 30° ,得AN的度数为60° ；同时B为AN的屮点，可根据 圆的对称性，得壮'的度数为90° ,故ZAOB' = 90° ,从而得到AAOB，为等腰直角三角 形.在RtAAOB*中，AB— °”二近,即PA + PB的最小值为血.
sin 45°
故选B.
评析 这道题是数学名题“将军饮马问题”的变形与应用，属于儿何中常见的“一定 两动型”最值问题，即在一条直线的同侧，有两个定点，在直线上找一动点，求这一动点 到这两个定点的距离之和最小，解决这道题目的关键是作点B或点A关于MN的对称点, 将这一问题转化为“两点之间，线段最短”.同时这道题，还要借助圆周角和圆心角的关
系，构造直角，再用三角函数的知识求出最小值.
二、利用“垂线段最短”求最小值
例 2 如图 3, AABC 中，ZBAC = 60° , ZABC=45° , AB=2血，D 是线段 BC
上的一个动点，以AD为直径画＜30分别交AB, AC于E, F,连结EF,则线段EF长度
的最小值为 ______ .
解析 将EF置于AOEF中，由ZEOF=2ZEAF,得圆心角ZEOF=120°为定值， 等腰AOEF的腰长最小时，底边EF也最小.由“垂线段最短”可知，当AD丄BC时，直 径AD最短，则半径（等腰OEF的腰长）最短，EF最小值也就迎刃而解.如图4,连接 OF、0E,过0点作OH
图3 丄EF,垂足为H在RtAADB中，AD = ABsinZB=2,即此吋圆 的直径为2.由圆周角定理，可知
ZEOH=ZEOF=ZBAC=60° ；在RtAEOH中，EH =0E?sin 60° =出?由垂径定理，得EF=2EH= ?
2
评析 这道题属于另一类几何中常见的“一定一动型”最值问题，即在直线外有一定 点，直线上有一动点，求这两点间的最小距离.我们可以将问题化归到“垂线段最短”的 模型屮加以解决.但这道题目并不是求垂线段AD的最小值，而是求圆中弦EF的最小值, 这就需耍我们利用圆的相关性质建立所求事项和己知事项之间的联系，将求EF的最小 值，最终转化到求直径AD的最小值.
三、利用“二次函数性质”求最小值 例3如图5,在RtAAOB
OA=OB = 3A/2 , （DO的半径为1,点P是AB边上
的动点，过点P作O0的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 _________ ?
A
P
B
图5
图6
解析P、Q是两个动点，直接求PQ的最小值将无路可走，若我们注意到PQ是O0的 切线，则PQ丄0Q,就可柳暗花明，如图6,连结OQ、0P.由PQ丄0Q,得PQ2=OP2
-OQ2,这里求PQ的最小值，可求PQ?的最小值.设PQ2=y, OP=x,则y=x?—l (3 WxW3血)，由二次函数性质知，当x = 3时，ymin = 8,故PQ的最小值为2^2 .
评析 这道题的最值问题与切线密切相关，也可通过合情推理思考：在RtAOPQ'l', OP为定值，要求PQ最小值，就是求OP的最小值，同例2,利用“垂线段最短”求解.当 然，在构造二次函数解题时，求自变量x的取值范围时，确定x的最小值同样指向“垂线 段最短”.
四、利用“过圆内一点的弦中，垂直于该点所在直径的弦最短”求最小值
例4在平面直角坐标系xOy中，以原点0为圆心的圆过点A(13, 0),直线y=kx — 3k +4与
(DO交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ______________ .
解析 直线y=kx-3k+4必过点D(3, 4).由圆的性质知：最短的弦BC是过点D且 垂直于OD的弦(如图7).由D(3, 4),得OD=5；由以原点O为圆心的圆过点A(13,
0),得半径OB = 13.
在RtAOBD中，BD= JOB2匚=12.由垂径定理，得BC =
2BD=24.
评析 要求过点D的弦BC的最小值，关键是如何确定BC的位置，由直觉或已有经
验我们知：“过圆内一点的弦中，垂直于该点所在直径的弦最短”.我们可对其简证如下： 如图8,连接OB、OC,由相交弦定理，得BD. CD为定值.由均值定理，得BD+CD2 2】BD?CD ,当且仅当BD=CD时，BD+CD取最小值，即弦BC长取得最小值.由OB
=0C, BD=CD,根据等腰三角形三线合一，得0D丄BC.即最短弦长BC的位置为：过
点D且与点D所在直径垂直的弦.
五、利用“锐角的正切值随着角度的增大而增大”求最大值
例5如图9,已知A、B两点的坐标分别为(2, 0)、(0, 2), OC的圆心坐标为(一1,
0),半径为1.若D是OC上的一个动点，线段DA与y轴］ 小值
是()
(A)2
72 (02-丁
(B)l (D)2-V2
解析这道题表面上看是求最小值，实质上是求最
大值，因为AAOB的面积为定值，要求AABE面积的最小值，就是求AAOE面积的最大 值，由于AAOE的高A0确定，只需求底0E最大值即可，根据“锐角的正切值随着角度 的增大而增大”，当ZOAE最大吋，0E最大.由三角函数知 即AD与OC相切时，0E最长，BE最短.由勾股定理，得
AD= ^AC2 -CD2 =2^2 .
从而可得，tan ZEAO= —.
AD 4 在 RtAAOE 中,
图10
OE=OA ? tan
ZEA\2
从而AAOE而积的最大值是
丄 = 2 2 2
于是，AABE面积的最小值是2- — .
故选C.
2
评析这道题目有一定的难度，与例3类似，是一道与切线有关的最值问题.所不同 的是，题目中没有涉及切线，故我们解题时要能从直觉上感受到，当AD与OC相切，△ ABE面积取得最小值.
六、利用“直径是圆中最长的弦”求最大值
例6如图11, AB是的一条弦，点C是OO±一动点，且ZACB=30° ,点E、 F分别是AC、
BC的中点，直线EF与OO交于G、H两点.若（DO的半径为7,则GE+ FH的最大值为 .
解析 连结OA, 0B（如图12）.由ZAOB = 2ZACB=60° ,我们可得AOAB为等边 三角形,OA=OB = AB=7.又 E、F 为 AC、BC 的屮点，故 EF=’ AB = 3.5.这里 GE
2
+ FH=GH — EF,要使GE+FH最大，而EF为定值，则GH取最大值时GE+FH有最大 值.根据
图11
图12
“直径是圆中最长的弦”知，当GH为直径时，GE+F-H的最大值为14-3.5 = 10.5.
评析 此题构思巧妙、题型新颖，也是求两条线段的和最值问题，但与例1却完全不 同，点C在优弧AB±运动，随之引起EF及GH的运动，在运动过程中，我们要抓住变 化的量和不变的量，在这里，EF是定量，GH是变量.从而将求GE+FH和的最大值，转 化为求眩GH的最大值.
综述以上六个问题都是在“圆”题背景下，以动点为核心、数形结合为灵魂、化归思 想为精髓，通过有效的数学思考，特别是指向解题策略的思考，考察我们的知识生成能 力.解决这类问题，需要我们仔细观察图形，以静制动，动静结合，深入分析和思考，从 中找出相应的最值问题模
中考数学复习指导：探究以圆为背景的最值问题.doc
