解三角形
1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且asinA＋csinC－bsinB＝2asinC. (1)求角B的大小；
(2)设向量m＝(cosA，cos2A)，n＝(12，－5)，边长a＝4，当m·n取最大值时，求b的值. 解 (1)由题意得，asinA＋csinC－bsinB＝2asinC， ∴a2
＋c2
－b2
＝2ac，
∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝2
2
，
∵B∈(0，π)， ∴B＝π
4
. (2)∵m·n＝12cosA－5cos2A＝－10??3?cosA－5??243?＋5， ∴当cosA＝35时，m·n取最大值，此时sinA＝4
5. 由正弦定理得，b＝
asinBsinA＝52
2
. 2.已知△ABC中，AC＝2，A＝2π
3，3cosC＝3sinB.
(1)求AB；
(2)若D为BC边上一点，且△ACD的面积为33
4，求∠ADC的正弦值.
解 (1)因为A＝2π3，所以B＝π
3
－C，
由3cosC＝3sinB得，cosC＝3sin??π?3－C???
，
所以cosC＝3?
?33?2cosC－12sinC???＝3
2
cosC－2sinC，
所以13
2cosC＝2sinC，
即tanC＝
3
3
. 又因为C∈(0，π)，
所以C＝πππ
6，从而得B＝3－C＝6
，所以AB＝AC＝2.
1
1π3333
(2)由已知得·AC·CDsin＝，所以CD＝，
2642在△ACD中，由余弦定理得，AD＝AC＋CD－2AC·
2
2
2
CDcosC＝，即AD＝
AD747， 2
由正弦定理得，＝，
sinCsin∠ADC故sin∠ADC＝
ACACsinC27
＝. AD7
xx2
3.已知函数f(x)＝1＋23sincos－2cos，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
222(1)求f(A)的取值范围；
3＋3
(2)若A为锐角且f(A)＝2，2sinA＝sinB＋2sinC，△ABC的面积为，求b的值.
4
x?π??π?解 (1)f(x)＝3sinx－cosx＝2sin?x－?，∴f(A)＝2sin?A－?，由题意知，0 6?6??? π?π5π??π??1?则A－∈?－，?，∴sin?A－?∈?－，1?， 6?6??2?6?6?故f(A)的取值范围为(－1,2]. 2π?ππ??π??π?(2)由题意知，sin?A－?＝，∵A为锐角，即A∈?0，?，∴A－∈?－，?， 6?22?6?63???ππ5π ∴A－＝，即A＝. 6412 由正、余弦定理及三角形的面积公式， ??1bc·sin5π＝3＋3，得?2124 5πb＋c－a?cos?12＝2bc，2 2 2 2a＝b＋2c， 解得b＝2. π??4.(2018·北京11中模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx－φ)?ω>0，0<φ 2??π3??π ?，?，且相邻两条对称轴的距离为2. ?42? (1)求函数f(x)的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间； 1?A?(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f ??＋cosA＝，求角A的大小. 2?2? 2 π2π 解 (1)由相邻两条对称轴的距离为，可得其周期为T＝＝π，所以ω＝2，由图象过 2ω点? ?π?4，3?2?? ，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f(x)＝sin? ?π?2x－6???. 令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π 2 ，k∈Z，得 kπ－ππ6≤x≤kπ＋3 ，k∈Z. 所以函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为???0，π3???和??5π?6，π??? . (2)由f ??A??12??＋cosA＝2， 可得sin??1?A－π6???＋cosA＝2， 则 32sinA＋11?π?1 2cosA＝2，得sin?? A＋6??＝2， 因为0 6 所以A＋π5π 6＝6， 所以A＝2π 3 . 3
通用版2020年高考数学模拟试题解答题专题精练：解三角形
