2024-2024 年高考数学压轴题集锦 —— 数列（二）
an
S
S
2a 3n( n
的前 项和为 n ， n 1.数列 n
（1）证明数列 an 3 是等比数列，求出数列 （2）设 b
n
nN * )
．
an 的通项公式．
2n 1
bn 的前 n 项和 Tn ( a 3)
，求数列 ． n
3
（ 3）数列 bn 中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．
2.设数列 an 则称 an
的前 项和为 nSn ，若对于任意的正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 Sn
an ， 是 “H 数列 ”．
（1）若数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n (n N * ) ，证明： an 是 “H 数列 ”．
“ ” 2 an an d
是 H 数列 ，求 的值． （ ）设 是等差数列，其首项 a1 1 ，公差 d 0 ，若
1
3.已知点 (n,an )(n TN ) 在函数 f ( x) *2 x 2 的图象上，数列
an 的前 n 项和为
Sn ，数列 bn 的前 n 项和为 n ，且 n 是 T6 Sn 与 8n 的等差中项．
（1 ）求数列 bn 的通项公式． （2 ）设 cn Dn ．
bn 8n 3 ，数列 dn
满足 d1 c1 ， d n l cdn (n N * ) ．求数列 dn 的前 n 项和
（3）在（ 2）的条件下，设 g ( x) 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数 x1 ， x2 ， 恒有 g (x1 x2 ) x1 g (x2 ) x2 g( x1 ) 成立，且 g (2) a （ a 为常数， a 0 ），试判断数列 g
dn 2 1
d n 1
是否为等差数列，并说明理由．
an
4.已知等比数列 足：
q 1
的公比
a1 1 a1 a3 a2 14 ， 成等差数列，数列 ，且 ， ，
bn
满 a1b1 a2b2 L anbn (n 1) 3n
1 ， n N* ．
（Ⅰ ）求数列 an 和 bn 的通项公式． （Ⅱ ）若 man ≥ bn
8
恒成立，求实数 m 的最小值．
2
5.已知每项均为正整数的数列 (i 1,2,3 L ) ，设
A : a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， L ， an ，其中等于 的项有
i
个
k
b
j
k1 k2 L kj ( j 1,2,3L ) ， g (m)
b1 b2 L bm
nm(m 1,2,3L ) ．
（1 ）设数列 A :1 ， 2 ， 1 ， 4 ，求 g(1) ， g (2) ， g (3) ， g (4) ， g(5) ． （2 ）若数列 A 满足 a1 a2 L
an n 100 ，求函数 g( m) 的最小值．
6.已知数列 an 是首项为 ，公比为 的等比数列． （Ⅰ ）证明：当 0 q 1 时， an 是递减数列．
（Ⅱ ）若对任意
1q
*
a
k
k N ，都有
a ， a 成等差数列，求 q 的值． ， k 2 k 1
7.已知数列 { an} 满足 an=2an-1-2n+5，（ n∈ N 且 n≥2）， a1=1，
）是常数列，并求 { an （I ）若 bn n n } 的通项； =a -2n+1 ，求证数列 { b } （ n∈N （ II ）若 Sn 是数列 { an } 的前 n 项和，又 cn =（ -1） nSn ，且 { Cn} 的前 n 项和 Tn＞ tn2 在 n∈ N* 时恒成立，求实数 t 的取值范围。
*
3
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