第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型-微分方程
一、教学目的和要求
通过本次课，使学生能够掌握根据系统的物理结构模型建立时域数学模型的方法，会利用拉氏变换的方法求解微分方程，了解非线性系统的线性化方法。
二、重点、难点
重点：线性控制系统微分方程的建立 难点：非线性微分方程的线性化
三、教学内容
1.线性定常系统微分方程的建立 1）引例
见课本例2-1，2-2
2）方法与步骤总结:
（1）确定系统的输入、输出变量；
（2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出元件微分方程； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）整理，输入量项=输出量项。 通过例2-5作进一步深入讲解。 3）线性系统微分方程的一般形式
dndn?1da0nc(t)?a1n?1c(t)?????an?1c(t)?anc(t)dtdtdt mm?1ddd?b0mr(t)?b1m?1r(t)?????bm?1r(t)?bmr(t)dtdtdt2.微分方程的求解
1）拉氏变换法求解微分方程的方法步骤
（1）考虑初始条件，对微分方程两端进行拉氏变换；
1
（2）求出输出量的拉氏变换表达式；
（3）求输出量的拉氏反变换，得到输出量的时域解. 具体见课本例2-6 2）运动的模态 (1)解的组成
由特解和通解组成。通解决定于方程的特征根，特解决定于输入量. (2)运动模态
微分方程通解的一般形式
y0(t)?c1e?1t?c2e?2t?????cne?nt
e?it称为微分方程所描述的运动的模态
当有多个输入信号同时作用于同一线性系统时，可利用线性系统的叠加性和均匀性，针对单个信号分别求解，最后把结果进行叠加。
3.非线性系统的线性化
利用小偏差线性化的数学处理: 静态工作点附近的泰勒(Taylor)级数展开 1）对于单变量函数，将非线性函数y= f（x），在其工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。
1?d2f(x)??df(x)?2y?f(x0)??(x?x)?(x?x)???00?22!?dx?x?dx?x00忽略二阶以上各项，可写成
2）对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。 在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得
?df(x)?y?f(x0)???(x?x0)?dx?x0
???f????f?y?f(x10,x20)????(x1?x10)??(x?x)?220????x2????x1????2f???2f1???2f?2??2?(x1?x10)?2?2 ?x10)(x2?x20)???(x122!???x1??x?x?x?12??2??2?(x2?x20)????
忽略二阶以上各项，可写成
??f???f???y?f(x10,x20)??(x1?x10)??(x2?x20)????
??x1???x2?四、小结
1.线性系统微分方程的建立 2.拉氏变换法求解微分方程 3.非线性微分方程的线性化
2-2 控制系统的复域数学模型
一、教学目的和要求
通过本次课，使学生理解传递函数的定义及性质，了解传递函数的特点。理
解零极点对系统与系统性能的关系，熟悉典型元部件、典型环节的传递函数。
二、重点、难点
传递函数的定义及性质 零极点与系统性能的关系
三、教学内容
引入：微分方程尽管比较直观，但当系统结构或系统中的某个参数发生变化时，需要重新列解微分方程，给系统分析和设计带来不便。传递函数作为控制系统的另一种形式的数学模型，不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。 1.传递函数的定义及性质 1）定义
线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换之比。
线性定常系统微分方程的一般表达式:
dnxcdn?1xcdxcdmxr a0dtn?a1dtn?1???an?1dt?anxc?b0dtm???bmxr
在初始情况为零时，两端取拉氏变换： a0snxc(s)?a1sn?1xc(s)???anxc(s)?b0smxr(s)???bmxr(s)
移项后得：
G(s)?XC(s)/Xr(s)
nn?13 ?b0sm?b1sm?1????bm?1s?bm/(a????an?1s?an)0s?a1s
2）性质
a传递函数是关于s的有理真分式m≤n,且所有系数均为实数。 b传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量无关。 c与微分方程具有相通性
d.G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应
e仅表示输入量和输出量的数量关系，不代表系统的物理性质
3）典型元部件的传递函数 （1）电位器G(s)?K （2）测速发电机G(s)?U(s)U(s)?Kt或G(s)??Kt(s) ?(s)?(s)（3）两相伺服电动机G(s)??m(s)Km?(s)Km或G(s)?m ??Ua(s)s(Tms?1)Ua(s)Tms?1（4）无缘网络
2.传递函数的零、极点 1)零极点定义 b0sm?dm?1sm?1???d1s?d0G(s)??K*nn?1 a0s?cn?1s???c1s?c0ii?(s?z)ii?1njm(s?p?．．m,z称为零点。 G(s)?0?s?z，i=1,2,．
j?1)．．n,pj称为极点。 G(s)???s?pj，j=1,2,．
2）零、极点的几何表示
在复平面上，零点用“○”表示，极点用“×”表示。
3）零、极点对系统性能的影响
极点受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态
零点不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应中所占的比重。
同一系统中，与零点较近的极点所形成的模态在输出中所占的比重较小；不同系统中，零点距离虚轴越近，作用越明显。
3.传递函数的几种形式
1）传递函数的零极点表示形式
m
(s?zi)?mm?1 bs?ds???d1s?d0G(s)?0nm?1n?1?K*in?1 a0s?cn?1s???c1s?c0(s?pj)?
j?12）传递函数的时间常数表示形式
4
m4.典型环节的传递函数 (?is?1)?bmfmsm?fm?1sm?1???f1s?1i?11）比例环节（放大环节/无惯性环节） G(s)?KG(s)??Knn?1nanens?en?1s???e1s?1特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。(Tis ?1)?j?1典型电路
2）积分环节 G(s)?s
特点：输出量随时间成正比地无限增加
典型电路
1
3）微分环节 G(s)?s
特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趋势，实践中，理想的微分环节难以实现。
14）惯性环节 G(s)?Ts?1
特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变 化，存在时间上的延迟
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控制系统的数学模型
